Номер 2, страница 175 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

2. При погружении катушки из алюминиевой проволоки под напряжением в тающий лед сила тока в ней равна $I_1 = 29 \text{ мА}$, а при погружении в кипяток $I_2 = 20 \text{ мА}$. Определите температурный коэффициент сопротивления алюминия.

Дано:

Сила тока в тающем льду, $I_1 = 29 \text{ мА}$
Сила тока в кипятке, $I_2 = 20 \text{ мА}$
Температура тающего льда, $t_1 = 0^\circ \text{C}$
Температура кипятка, $t_2 = 100^\circ \text{C}$
Напряжение, $U = \text{const}$

Перевод в систему СИ:
$I_1 = 29 \times 10^{-3} \text{ А}$
$I_2 = 20 \times 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

Температурный коэффициент сопротивления, $\alpha$.

Решение:

Согласно закону Ома, сопротивление катушки $R$ можно выразить через напряжение на её концах $U$ и силу тока $I$ в ней:

$R = \frac{U}{I}$

Поскольку напряжение на катушке остается постоянным, мы можем записать выражения для сопротивления катушки в тающем льду ($R_1$) и в кипятке ($R_2$):

$R_1 = \frac{U}{I_1}$ при температуре $t_1 = 0^\circ \text{C}$

$R_2 = \frac{U}{I_2}$ при температуре $t_2 = 100^\circ \text{C}$

Зависимость сопротивления от температуры описывается линейным уравнением:

$R_2 = R_1(1 + \alpha \cdot \Delta t)$

Здесь $\alpha$ — искомый температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta t$ — изменение температуры, равное $\Delta t = t_2 - t_1$.

Подставим в это уравнение выражения для $R_1$ и $R_2$:

$\frac{U}{I_2} = \frac{U}{I_1}(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

Сократим напряжение $U$, так как оно одинаково в обоих случаях:

$\frac{1}{I_2} = \frac{1}{I_1}(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

Выразим из этого уравнения $\alpha$. Сначала преобразуем уравнение:

$\frac{I_1}{I_2} = 1 + \alpha(t_2 - t_1)$

$\frac{I_1}{I_2} - 1 = \alpha(t_2 - t_1)$

$\frac{I_1 - I_2}{I_2} = \alpha(t_2 - t_1)$

Отсюда находим $\alpha$:

$\alpha = \frac{I_1 - I_2}{I_2(t_2 - t_1)}$

Подставим числовые значения. При вычислении можно использовать значения тока в миллиамперах, так как они находятся в отношении и единицы измерения сократятся.

$\alpha = \frac{29 \text{ мА} - 20 \text{ мА}}{20 \text{ мА} \cdot (100^\circ \text{C} - 0^\circ \text{C})} = \frac{9}{20 \cdot 100} \text{ }^\circ\text{C}^{-1}$

$\alpha = \frac{9}{2000} \text{ }^\circ\text{C}^{-1} = 0.0045 \text{ }^\circ\text{C}^{-1}$

Так как изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин, то единица измерения может быть также К⁻¹.

Ответ: температурный коэффициент сопротивления алюминия равен $0.0045 \text{ }^\circ\text{C}^{-1}$ (или $4.5 \times 10^{-3} \text{ К}^{-1}$).