Страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^2 - 3x;$

2) $y = x^3 + 6x;$

3) $y = \frac{1}{1-x^2};$

4) $y = -\frac{2}{1+x^2}.$

1) $y = 2x^2 - 3x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом (квадратичная функция), поэтому она определена для всех действительных чисел $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = 2(0)^2 - 3(0) = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies 2x^2 - 3x = 0 \implies x(2x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3/2 = 1.5$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = 2(-x)^2 - 3(-x) = 2x^2 + 3x$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как это многочлен степени выше первой.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (2x^2 - 3x)' = 4x - 3$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4x - 3 = 0 \implies x = 3/4 = 0.75$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 3/4$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; 3/4]$.
• При $x > 3/4$, $y' > 0$, функция возрастает на $[3/4; +\infty)$.

Точка минимума (вершина параболы): $(0.75; -1.125)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (4x - 3)' = 4$.

Поскольку $y'' = 4 > 0$ для всех $x$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $(0.75; -1.125)$. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$.

Ответ: Функция $y = 2x^2 - 3x$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Область определения - все действительные числа. Пересекает оси в точках $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$. Убывает на $(-\infty; 0.75]$ и возрастает на $[0.75; +\infty)$. Точка минимума $(0.75; -1.125)$. График вогнут на всей области определения.

2) $y = x^3 + 6x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = 0^3 + 6(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies x^3 + 6x = 0 \implies x(x^2 + 6) = 0$. Уравнение $x^2 + 6 = 0$ не имеет действительных корней, поэтому единственный корень $x = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = (-x)^3 + 6(-x) = -x^3 - 6x = -(x^3 + 6x) = -y(x)$.

Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Асимптоты.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как это многочлен.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (x^3 + 6x)' = 3x^2 + 6$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $3x^2 + 6 > 0$ для всех $x$. Производная всегда положительна.

Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (3x^2 + 6)' = 6x$.

Найдем точки, где $y''=0$: $6x = 0 \implies x = 0$.

Определим знаки второй производной:

• При $x < 0$, $y'' < 0$, график функции является выпуклым (выпуклым вверх).
• При $x > 0$, $y'' > 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз).

7. Построение графика.

График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. Функция всегда возрастает. Для $x < 0$ график выпуклый, для $x > 0$ — вогнутый. Ключевые точки: $(-1; -7)$, $(0; 0)$, $(1; 7)$.

Ответ: Функция $y = x^3 + 6x$ нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Область определения - все действительные числа. Пересекает оси только в точке $(0; 0)$. Функция строго возрастает на всей числовой оси. Точек экстремума нет. График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; 0)$.

3) $y = \frac{1}{1 - x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = \frac{1}{1-0} = 1$. Точка $(0; 1)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies \frac{1}{1 - x^2} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{1}{1 - (-x)^2} = \frac{1}{1 - x^2} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$.

$\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$, $\lim_{x \to 1^-} y = +\infty$.

$\lim_{x \to -1^+} y = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} y = -\infty$.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - x^2} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (\frac{1}{1 - x^2})' = \frac{-(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2x}{(1 - x^2)^2}$.

Критическая точка: $y' = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(1-x^2)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $2x$.

• При $x < 0$ (и $x \neq -1$), $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$.
• При $x > 0$ (и $x \neq 1$), $y' > 0$, функция возрастает на $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (\frac{2x}{(1 - x^2)^2})' = \frac{2(1-x^2)^2 - 2x \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{2(1-x^2)+8x^2}{(1-x^2)^3} = \frac{2+6x^2}{(1-x^2)^3}$.

Числитель $2+6x^2 > 0$. Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(1-x^2)^3$.

• При $x \in (-1; 1)$, $1-x^2 > 0$, значит $y'' > 0$. График вогнутый.
• При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $1-x^2 < 0$, значит $y'' < 0$. График выпуклый.

7. Построение графика.

График состоит из трех ветвей. Центральная ветвь находится между асимптотами $x=-1$ и $x=1$, имеет форму параболы с минимумом в точке $(0; 1)$ и стремится к $+\infty$ при приближении к асимптотам. Две боковые ветви находятся ниже оси Ox, симметричны относительно оси Oy, стремятся к горизонтальной асимптоте $y=0$ при $x \to \pm \infty$ и к $-\infty$ при приближении к вертикальным асимптотам.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{1 - x^2}$ четная, график симметричен относительно оси Oy. Область определения $x \neq \pm 1$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, горизонтальная асимптота $y=0$. Убывает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$, возрастает на $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка локального минимума $(0; 1)$. График вогнутый на $(-1; 1)$ и выпуклый на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

4) $y = -\frac{2}{1 + x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель $1+x^2$ всегда положителен ($1+x^2 \ge 1$).

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = -\frac{2}{1+0} = -2$. Точка $(0; -2)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies -\frac{2}{1 + x^2} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox. Так как $1+x^2>0$, то $y < 0$ для всех $x$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = -\frac{2}{1 + (-x)^2} = -\frac{2}{1 + x^2} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2}{1 + x^2} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График приближается к ней снизу.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (-2(1+x^2)^{-1})' = (-2)(-1)(1+x^2)^{-2}(2x) = \frac{4x}{(1+x^2)^2}$.

Критическая точка: $y' = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$.

Знак производной зависит от знака $x$:

• При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; 0]$.
• При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $[0; +\infty)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (\frac{4x}{(1+x^2)^2})' = \frac{4(1+x^2)^2 - 4x \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{4(1+x^2) - 16x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{4-12x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{4(1-3x^2)}{(1+x^2)^3}$.

Знаменатель всегда положителен. Знак $y''$ определяется знаком числителя $1-3x^2$.

$1-3x^2 = 0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm 1/\sqrt{3}$.

• При $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $1-3x^2>0 \implies y''>0$. График вогнутый.
• При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}; +\infty)$, $1-3x^2<0 \implies y''<0$. График выпуклый.

7. Построение графика.

График имеет форму "перевернутого колокола", расположенного под осью Ox. Он симметричен относительно оси Oy. Минимальное значение достигается в точке $(0; -2)$. График приближается к оси Ox (асимптота $y=0$) при $x \to \pm \infty$. В точках $(\pm 1/\sqrt{3}; -1.5)$ происходит смена выпуклости на вогнутость и наоборот.

Ответ: Функция $y = -\frac{2}{1+x^2}$ четная, график симметричен относительно оси Oy. Область определения - все действительные числа. Горизонтальная асимптота $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка глобального минимума $(0; -2)$. График выпуклый на $(-\infty; -1/\sqrt{3}]) \cup [1/\sqrt{3}; +\infty)$ и вогнутый на $[-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3}]$. Точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{3}; -1.5)$.

18. Постройте график функции в программе "Живая геометрия" или "GeoGebra":

1) $y = \frac{1+x}{x}$;

2) $y = \frac{x}{1+x}$;

3) $y = 5 - 2\sqrt{x+1}$;

4) $y = 3 + 2\sqrt{x-1}$.

Используя график, перечислите свойства функции.

1) $y = \frac{1+x}{x}$

Для построения графика преобразуем функцию: $y = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1$. Это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. График состоит из двух ветвей, которые приближаются к асимптотам.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $1+x=0$, то есть при $x=-1$. Точка пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$. С осью Oy пересечения нет.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$; $y < 0$ на $(-1; 0)$.

5. Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=1$.

7. Четность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; нуль функции $x=-1$; убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; асимптоты $x=0$ и $y=1$.

2) $y = \frac{x}{1+x^2}$

График этой функции симметричен относительно начала координат, так как функция является нечетной ($y(-x) = -y(x)$). Он имеет "волнообразную" форму, прижимаясь к оси Ox при $x \to \pm\infty$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-0.5; 0.5]$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$; $y<0$ при $x<0$.

5. Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-1; 1)$; убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка минимума $(-1; -0.5)$, точка максимума $(1; 0.5)$.

7. Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=0$.

8. Четность: функция нечетная.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-0.5; 0.5]$; нечетная; возрастает на $(-1; 1)$, убывает на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$; минимум в точке $(-1; -0.5)$, максимум в точке $(1; 0.5)$; горизонтальная асимптота $y=0$.

3) $y = 5 - 2\sqrt{x+1}$

График этой функции — ветвь параболы. Его можно получить из графика функции $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями: сдвиг на 1 единицу влево, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy, отражение относительно оси Ox и сдвиг на 5 единиц вверх. Начальная точка графика — $(-1; 5)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-1; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 5]$.

3. Нули функции: $y=0$ при $5 - 2\sqrt{x+1} = 0$, то есть при $x=5.25$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на $[-1; 5.25)$; $y<0$ на $(5.25; +\infty)$.

5. Монотонность: функция убывает на всей области определения $[-1; +\infty)$.

6. Асимптот нет.

7. Четность: функция общего вида.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = [-1; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 5]$; нуль функции $x=5.25$; убывает на $[-1; +\infty)$; начальная точка графика $(-1; 5)$.

4) $y = 3 + 2\sqrt{x-1}$

График этой функции — ветвь параболы. Его можно получить из графика функции $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями: сдвиг на 1 единицу вправо, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy и сдвиг на 3 единицы вверх. Начальная точка графика — $(1; 3)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [1; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [3; +\infty)$.

3. Нули функции: нет, так как $y \ge 3$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на всей области определения.

5. Монотонность: функция возрастает на всей области определения $[1; +\infty)$.

6. Асимптот нет.

7. Четность: функция общего вида.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = [1; +\infty)$; область значений $E(y) = [3; +\infty)$; нулей нет, функция всегда положительна; возрастает на $[1; +\infty)$; начальная точка графика $(1; 3)$.

19. Постройте график функции в программе "Живая геометрия" или "GeoGebra":

1) $y = -2\cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) + 3;$ 2) $y = -2 + 5\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right);$

3) $y = 4 - 2\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{3}\right).$

1)

Рассмотрим функцию $y = -2\cos(4x - \frac{\pi}{4}) + 3$. Это преобразованная функция косинуса вида $y = A\cos(k(x - x_0)) + D$. Для построения ее графика необходимо выполнить последовательность преобразований над базовым графиком $y = \cos(x)$.

1. Преобразование аргумента: Аргумент косинуса $4x - \frac{\pi}{4}$ можно переписать как $4(x - \frac{\pi}{16})$.

• Множитель $k=4$ перед $x$ вызывает сжатие графика по горизонтали (вдоль оси Ox) в 4 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
• Вычитание $\frac{\pi}{16}$ из $x$ вызывает сдвиг (фазовый сдвиг) графика вправо на $\frac{\pi}{16}$.

2. Преобразование значения функции:

• Множитель $A=-2$ перед функцией косинуса означает:
  • Растяжение графика по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза, так как амплитуда равна $|A|=|-2|=2$.
  • Отражение графика относительно его новой горизонтальной оси симметрии из-за отрицательного знака.
• Слагаемое $D=3$ вызывает сдвиг графика вверх на 3 единицы. Это означает, что новая ось симметрии (средняя линия) графика — это прямая $y=3$.

Свойства и ключевые точки:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.
• Амплитуда: $A = 2$.
• Средняя линия: $y=3$.
• Область значений: Колебания происходят в пределах $\pm2$ от средней линии $y=3$, то есть от $3-2=1$ до $3+2=5$. $E(y) = [1; 5]$.
• Ключевые точки: Из-за отражения, в точках, где у $\cos(x)$ максимум, у нашей функции будет минимум, и наоборот.
  • Минимум ($y=1$) достигается, когда $\cos(4x - \frac{\pi}{4})=1$, то есть $4x - \frac{\pi}{4} = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $4x = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{16}$.
  • Максимум ($y=5$) достигается, когда $\cos(4x - \frac{\pi}{4})=-1$, то есть $4x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $4x = \frac{5\pi}{4} \implies x = \frac{5\pi}{16}$.
  • Пересечение со средней линией ($y=3$) происходит, когда $\cos(4x - \frac{\pi}{4})=0$, то есть $4x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Например, при $n=0$, $4x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{16}$.

Ответ: График функции — это косинусоида, сжатая в 4 раза по горизонтали (период $\frac{\pi}{2}$), растянутая в 2 раза по вертикали (амплитуда 2), отраженная относительно своей средней линии, сдвинутая на $\frac{\pi}{16}$ вправо и на 3 вверх. Средняя линия графика — $y=3$, область значений — $[1, 5]$.

2)

Рассмотрим функцию $y = -2 + 5\sin(2x + \frac{\pi}{6})$, которую можно записать как $y = 5\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 2$. Это преобразованная функция синуса вида $y = A\sin(k(x - x_0)) + D$. Построение выполняется преобразованием графика $y = \sin(x)$.

1. Преобразование аргумента: Аргумент синуса $2x + \frac{\pi}{6}$ можно переписать как $2(x + \frac{\pi}{12})$.

• Множитель $k=2$ вызывает сжатие графика по горизонтали в 2 раза. Период функции: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Прибавление $\frac{\pi}{12}$ к $x$ вызывает сдвиг графика влево на $\frac{\pi}{12}$.

2. Преобразование значения функции:

• Множитель $A=5$ растягивает график по вертикали в 5 раз. Амплитуда равна 5.
• Слагаемое $D=-2$ сдвигает график вниз на 2 единицы. Средняя линия графика — прямая $y=-2$.

Свойства и ключевые точки:

• Период: $T = \pi$.
• Амплитуда: $A = 5$.
• Средняя линия: $y=-2$.
• Область значений: Колебания происходят в пределах $\pm5$ от средней линии $y=-2$, то есть от $-2-5=-7$ до $-2+5=3$. $E(y) = [-7; 3]$.
• Ключевые точки:
  • Пересечение со средней линией в точке роста ($y=-2$) происходит, когда $\sin(2x + \frac{\pi}{6})=0$, то есть $2x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $2x = -\frac{\pi}{6} \implies x = -\frac{\pi}{12}$.
  • Максимум ($y=3$) достигается, когда $\sin(2x + \frac{\pi}{6})=1$, то есть $2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $2x = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{6}$.
  • Минимум ($y=-7$) достигается, когда $\sin(2x + \frac{\pi}{6})=-1$, то есть $2x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $2x = \frac{4\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции — это синусоида, сжатая в 2 раза по горизонтали (период $\pi$), растянутая в 5 раз по вертикали (амплитуда 5), сдвинутая на $\frac{\pi}{12}$ влево и на 2 вниз. Средняя линия графика — $y=-2$, область значений — $[-7, 3]$.

3)

Рассмотрим функцию $y = 4 - 2\sin^2(3x - \frac{\pi}{3})$. Для упрощения и построения графика используем тригонометрическую формулу понижения степени: $\sin^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

Подставим $\alpha = 3x - \frac{\pi}{3}$ в формулу:$y = 4 - 2\left(\frac{1 - \cos(2(3x - \frac{\pi}{3}))}{2}\right) = 4 - (1 - \cos(6x - \frac{2\pi}{3})) = 4 - 1 + \cos(6x - \frac{2\pi}{3})$.Таким образом, функция принимает вид $y = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$. Это стандартная преобразованная функция косинуса.

1. Преобразование аргумента: Аргумент $6x - \frac{2\pi}{3}$ переписывается как $6(x - \frac{2\pi}{18}) = 6(x - \frac{\pi}{9})$.

• Множитель $k=6$ сжимает график по горизонтали в 6 раз. Период: $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
• Вычитание $\frac{\pi}{9}$ сдвигает график вправо на $\frac{\pi}{9}$.

2. Преобразование значения функции:

• Множитель $A=1$, поэтому амплитуда равна 1, и вертикального растяжения нет.
• Слагаемое $D=3$ сдвигает график вверх на 3 единицы. Средняя линия — $y=3$.

Свойства и ключевые точки:

• Период: $T = \frac{\pi}{3}$.
• Амплитуда: $A = 1$.
• Средняя линия: $y=3$.
• Область значений: Колебания происходят в пределах $\pm1$ от средней линии $y=3$, то есть от $3-1=2$ до $3+1=4$. $E(y) = [2; 4]$.
• Ключевые точки:
  • Максимум ($y=4$) достигается, когда $\cos(6x - \frac{2\pi}{3})=1$, то есть $6x - \frac{2\pi}{3} = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $6x = \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{9}$.
  • Минимум ($y=2$) достигается, когда $\cos(6x - \frac{2\pi}{3})=-1$, то есть $6x - \frac{2\pi}{3} = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $6x = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{5\pi}{18}$.

Ответ: График функции является косинусоидой, сжатой в 6 раз по горизонтали (период $\frac{\pi}{3}$), с амплитудой 1, сдвинутой на $\frac{\pi}{9}$ вправо и на 3 вверх. Средняя линия графика — $y=3$, область значений — $[2, 4]$.

Практико-ориентированные задания

20. На диаграмме показано количество посетителей сайта “Новости спорта” с 1 по 20 августа 2019 г. (рис. 1). По горизонтали указаны дни месяца, а по вертикали — число посетителей сайта за данный день.

1) Найдите по диаграмме, в какие числа месяца число посетителей сайта “Новости спорта” было наибольшим.

2) Найдите количество дней, когда посетителей сайта было менее 600 000 человек.

3) Найдите количество дней, когда число посетителей сайта было не менее 700 000 человек.

4) Найдите по диаграмме, какой процент составляет наименьшее количество посетителей от наибольшего в день.

1) Для ответа на этот вопрос необходимо найти на диаграмме самые высокие столбцы. Самые высокие столбцы соответствуют максимальному значению в 800 000 посетителей. По горизонтальной оси определяем, что такое количество посетителей было 3, 15 и 19 августа.

Ответ: 3, 15, 19.

2) Необходимо найти все дни, когда количество посетителей было меньше 600 000 человек. Анализируя диаграмму, находим столбцы, высота которых не достигает отметки 600 000. Это следующие дни:

• 5 августа: 440 000 посетителей.

• 6 августа: 420 000 посетителей.

• 13 августа: 480 000 посетителей.

• 20 августа: 560 000 посетителей.

Таким образом, всего 4 дня, когда число посетителей было менее 600 000.

Ответ: 4.

3) Необходимо найти количество дней, когда число посетителей сайта было не менее 700 000 человек, то есть 700 000 или больше. Посчитаем все столбцы, которые достигают отметки 700 000 или превышают ее. Такими днями являются: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19. Общее количество таких дней — 11.

Ответ: 11.

4) Сначала найдем по диаграмме наибольшее и наименьшее количество посетителей за один день.

Наибольшее количество посетителей (самый высокий столбец) составляет 800 000 человек.

Наименьшее количество посетителей (самый низкий столбец) составляет 420 000 человек.

Теперь вычислим, какой процент составляет наименьшее количество посетителей от наибольшего. Для этого используем формулу:

$ \text{Процент} = \frac{\text{Наименьшее значение}}{\text{Наибольшее значение}} \times 100\% $

Подставляем значения и вычисляем:

$ \frac{420\ 000}{800\ 000} \times 100\% = \frac{42}{80} \times 100\% = 0,525 \times 100\% = 52,5\% $

Ответ: 52,5%.