Номер 19, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19. Постройте график функции в программе "Живая геометрия" или "GeoGebra":

1) $y = -2\cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) + 3;$ 2) $y = -2 + 5\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right);$

3) $y = 4 - 2\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{3}\right).$

1)

Рассмотрим функцию $y = -2\cos(4x - \frac{\pi}{4}) + 3$. Это преобразованная функция косинуса вида $y = A\cos(k(x - x_0)) + D$. Для построения ее графика необходимо выполнить последовательность преобразований над базовым графиком $y = \cos(x)$.

1. Преобразование аргумента: Аргумент косинуса $4x - \frac{\pi}{4}$ можно переписать как $4(x - \frac{\pi}{16})$.

• Множитель $k=4$ перед $x$ вызывает сжатие графика по горизонтали (вдоль оси Ox) в 4 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
• Вычитание $\frac{\pi}{16}$ из $x$ вызывает сдвиг (фазовый сдвиг) графика вправо на $\frac{\pi}{16}$.

2. Преобразование значения функции:

• Множитель $A=-2$ перед функцией косинуса означает:
  • Растяжение графика по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза, так как амплитуда равна $|A|=|-2|=2$.
  • Отражение графика относительно его новой горизонтальной оси симметрии из-за отрицательного знака.
• Слагаемое $D=3$ вызывает сдвиг графика вверх на 3 единицы. Это означает, что новая ось симметрии (средняя линия) графика — это прямая $y=3$.

Свойства и ключевые точки:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.
• Амплитуда: $A = 2$.
• Средняя линия: $y=3$.
• Область значений: Колебания происходят в пределах $\pm2$ от средней линии $y=3$, то есть от $3-2=1$ до $3+2=5$. $E(y) = [1; 5]$.
• Ключевые точки: Из-за отражения, в точках, где у $\cos(x)$ максимум, у нашей функции будет минимум, и наоборот.
  • Минимум ($y=1$) достигается, когда $\cos(4x - \frac{\pi}{4})=1$, то есть $4x - \frac{\pi}{4} = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $4x = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{16}$.
  • Максимум ($y=5$) достигается, когда $\cos(4x - \frac{\pi}{4})=-1$, то есть $4x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $4x = \frac{5\pi}{4} \implies x = \frac{5\pi}{16}$.
  • Пересечение со средней линией ($y=3$) происходит, когда $\cos(4x - \frac{\pi}{4})=0$, то есть $4x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Например, при $n=0$, $4x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{16}$.

Ответ: График функции — это косинусоида, сжатая в 4 раза по горизонтали (период $\frac{\pi}{2}$), растянутая в 2 раза по вертикали (амплитуда 2), отраженная относительно своей средней линии, сдвинутая на $\frac{\pi}{16}$ вправо и на 3 вверх. Средняя линия графика — $y=3$, область значений — $[1, 5]$.

2)

Рассмотрим функцию $y = -2 + 5\sin(2x + \frac{\pi}{6})$, которую можно записать как $y = 5\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 2$. Это преобразованная функция синуса вида $y = A\sin(k(x - x_0)) + D$. Построение выполняется преобразованием графика $y = \sin(x)$.

1. Преобразование аргумента: Аргумент синуса $2x + \frac{\pi}{6}$ можно переписать как $2(x + \frac{\pi}{12})$.

• Множитель $k=2$ вызывает сжатие графика по горизонтали в 2 раза. Период функции: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Прибавление $\frac{\pi}{12}$ к $x$ вызывает сдвиг графика влево на $\frac{\pi}{12}$.

2. Преобразование значения функции:

• Множитель $A=5$ растягивает график по вертикали в 5 раз. Амплитуда равна 5.
• Слагаемое $D=-2$ сдвигает график вниз на 2 единицы. Средняя линия графика — прямая $y=-2$.

Свойства и ключевые точки:

• Период: $T = \pi$.
• Амплитуда: $A = 5$.
• Средняя линия: $y=-2$.
• Область значений: Колебания происходят в пределах $\pm5$ от средней линии $y=-2$, то есть от $-2-5=-7$ до $-2+5=3$. $E(y) = [-7; 3]$.
• Ключевые точки:
  • Пересечение со средней линией в точке роста ($y=-2$) происходит, когда $\sin(2x + \frac{\pi}{6})=0$, то есть $2x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $2x = -\frac{\pi}{6} \implies x = -\frac{\pi}{12}$.
  • Максимум ($y=3$) достигается, когда $\sin(2x + \frac{\pi}{6})=1$, то есть $2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $2x = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{6}$.
  • Минимум ($y=-7$) достигается, когда $\sin(2x + \frac{\pi}{6})=-1$, то есть $2x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $2x = \frac{4\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции — это синусоида, сжатая в 2 раза по горизонтали (период $\pi$), растянутая в 5 раз по вертикали (амплитуда 5), сдвинутая на $\frac{\pi}{12}$ влево и на 2 вниз. Средняя линия графика — $y=-2$, область значений — $[-7, 3]$.

3)

Рассмотрим функцию $y = 4 - 2\sin^2(3x - \frac{\pi}{3})$. Для упрощения и построения графика используем тригонометрическую формулу понижения степени: $\sin^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

Подставим $\alpha = 3x - \frac{\pi}{3}$ в формулу:$y = 4 - 2\left(\frac{1 - \cos(2(3x - \frac{\pi}{3}))}{2}\right) = 4 - (1 - \cos(6x - \frac{2\pi}{3})) = 4 - 1 + \cos(6x - \frac{2\pi}{3})$.Таким образом, функция принимает вид $y = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$. Это стандартная преобразованная функция косинуса.

1. Преобразование аргумента: Аргумент $6x - \frac{2\pi}{3}$ переписывается как $6(x - \frac{2\pi}{18}) = 6(x - \frac{\pi}{9})$.

• Множитель $k=6$ сжимает график по горизонтали в 6 раз. Период: $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
• Вычитание $\frac{\pi}{9}$ сдвигает график вправо на $\frac{\pi}{9}$.

2. Преобразование значения функции:

• Множитель $A=1$, поэтому амплитуда равна 1, и вертикального растяжения нет.
• Слагаемое $D=3$ сдвигает график вверх на 3 единицы. Средняя линия — $y=3$.

Свойства и ключевые точки:

• Период: $T = \frac{\pi}{3}$.
• Амплитуда: $A = 1$.
• Средняя линия: $y=3$.
• Область значений: Колебания происходят в пределах $\pm1$ от средней линии $y=3$, то есть от $3-1=2$ до $3+1=4$. $E(y) = [2; 4]$.
• Ключевые точки:
  • Максимум ($y=4$) достигается, когда $\cos(6x - \frac{2\pi}{3})=1$, то есть $6x - \frac{2\pi}{3} = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $6x = \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{9}$.
  • Минимум ($y=2$) достигается, когда $\cos(6x - \frac{2\pi}{3})=-1$, то есть $6x - \frac{2\pi}{3} = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $6x = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{5\pi}{18}$.

Ответ: График функции является косинусоидой, сжатой в 6 раз по горизонтали (период $\frac{\pi}{3}$), с амплитудой 1, сдвинутой на $\frac{\pi}{9}$ вправо и на 3 вверх. Средняя линия графика — $y=3$, область значений — $[2, 4]$.