Номер 13, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $f(x) = \frac{x}{x - 1}$;

2) $f(x) = \frac{x^2}{x + 3}$;

3) $f(x) = \frac{2x}{16 - x^2}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$;

5) $f(x) = \sqrt{x} \cdot (x + 4)$;

6) $f(x) = \sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$.

1) $f(x) = \frac{x}{x - 1}$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо исследовать знак ее производной.Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x - 1 \ne 0$, откуда $x \ne 1$.Область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$f'(x) = \frac{(x)'(x-1) - x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{1}{(x-1)^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен -1.Производная не существует в точке $x = 1$, но эта точка не входит в область определения функции.

Определим знак производной на интервалах области определения.$f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}$. Так как знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \ne 1$, а числитель -1 отрицателен, то $f'(x) < 0$ на всей области определения.Следовательно, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{x^2}{x + 3}$

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$.$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Находим производную функции:$f'(x) = \frac{(x^2)'(x+3) - x^2(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{2x(x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2} = \frac{x(x+6)}{(x+3)^2}$.

Находим критические точки.Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x(x+6)}{(x+3)^2} = 0$. Отсюда $x(x+6) = 0$, что дает $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.Производная не существует при $x = -3$, но эта точка не входит в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками и точкой разрыва: $(-\infty; -6)$, $(-6; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$.Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(x+6)$, так как знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен.- на $(-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(-6; -3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.- на $(-3; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.- на $(0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.Поскольку функция непрерывна в точках $x=-6$ и $x=0$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутках $[-6; -3)$ и $(-3; 0]$.

3) $f(x) = \frac{2x}{16 - x^2}$

Область определения: $16 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne \pm 4$.$D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

Находим производную функции:$f'(x) = \frac{(2x)'(16-x^2) - 2x(16-x^2)'}{(16-x^2)^2} = \frac{2(16-x^2) - 2x(-2x)}{(16-x^2)^2} = \frac{32 - 2x^2 + 4x^2}{(16-x^2)^2} = \frac{32 + 2x^2}{(16-x^2)^2} = \frac{2(16+x^2)}{(16-x^2)^2}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2(16+x^2) = 0$. Уравнение не имеет действительных решений, так как $16+x^2$ всегда больше нуля.Производная не существует в точках $x = \pm 4$, которые являются точками разрыва.

Определим знак производной. Числитель $2(16+x^2)$ всегда положителен. Знаменатель $(16-x^2)^2$ также положителен для всех $x$ из области определения.Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$

Область определения: $x^2 - 9 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 9 \Rightarrow x \ne \pm 3$.$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Находим производную:$f'(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2-9) - (x^2-1)(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{2x(x^2-9) - (x^2-1)(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 + 2x}{(x^2-9)^2} = \frac{-16x}{(x^2-9)^2}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow -16x = 0 \Rightarrow x = 0$.Точки, где производная не существует, $x = \pm 3$, не входят в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $-16x$, так как знаменатель $(x^2-9)^2$ положителен.- на $(-\infty; -3)$: $x < 0 \Rightarrow -16x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(-3; 0)$: $x < 0 \Rightarrow -16x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(0; 3)$: $x > 0 \Rightarrow -16x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.- на $(3; +\infty)$: $x > 0 \Rightarrow -16x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.В точке $x=0$ функция непрерывна, поэтому ее можно включить в промежутки.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0]$, убывает на промежутках $[0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{x} \cdot (x + 4)$

Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.$D(f) = [0; +\infty)$.

Раскроем скобки для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{1/2}(x+4) = x^{3/2} + 4x^{1/2}$.Находим производную:$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3(\sqrt{x})^2 + 4}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x}}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x+4 = 0 \Rightarrow x = -4/3$. Эта точка не входит в область определения.Производная не существует при $x=0$ (знаменатель равен нулю), эта точка является границей области определения.

Определим знак производной на интервале $(0; +\infty)$.Для $x > 0$ числитель $3x+4$ положителен, и знаменатель $2\sqrt{x}$ также положителен.Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

6) $f(x) = \sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$

Область определения: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.$D(f) = [1; +\infty)$.

Находим производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$:$f'(x) = (\sqrt{x-1})'(5-x) + \sqrt{x-1}(5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}(5-x) + \sqrt{x-1}(-1) = \frac{5-x - 2(x-1)}{2\sqrt{x-1}} = \frac{5-x-2x+2}{2\sqrt{x-1}} = \frac{7-3x}{2\sqrt{x-1}}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 7-3x = 0 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3$. Эта точка принадлежит области определения.Производная не существует при $x=1$, это граничная точка области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(1; 7/3)$ и $(7/3; +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $7-3x$.- на $(1; 7/3)$: $7-3x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(7/3; +\infty)$: $7-3x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.Функция непрерывна в точках $x=1$ и $x=7/3$, поэтому их можно включить в промежутки.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; 7/3]$, убывает на промежутке $[7/3; +\infty)$.