Номер 9, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 10 - 10x^7 + 2,5x^{10}$;

2) $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$;

3) $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$;

4) $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$;

5) $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$;

6) $f(x) = \sin(4 - 3x)\operatorname{tg}(4 - 3x)$;

7) $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$;

8) $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$.

1) Для функции $f(x) = 10 - 10x^7 + 2,5x^{10}$ применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.

$f'(x) = (10)' - (10x^7)' + (2,5x^{10})' = 0 - 10 \cdot 7x^{7-1} + 2,5 \cdot 10x^{10-1} = -70x^6 + 25x^9$.

Ответ: $f'(x) = 25x^9 - 70x^6$.

2) Для функции $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$ применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = 3x + 5$ и $v = 4 - x$. Тогда $u' = 3$ и $v' = -1$.

$f'(x) = \frac{(3x+5)'(4-x) - (3x+5)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{3(4-x) - (3x+5)(-1)}{(4-x)^2} = \frac{12 - 3x + 3x + 5}{(4-x)^2} = \frac{17}{(4-x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{17}{(4 - x)^2}$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$ применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и формулу для производной квадратного корня $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Пусть $u = 11x - x^2$, тогда $u' = 11 - 2x$.

$f'(x) = (\sqrt{11x - x^2})' = \frac{(11x - x^2)'}{2\sqrt{11x - x^2}} = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{11x - x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{11x - x^2}}$.

4) Для функции $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$ применяем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = 2x - x^3$ и $v = \sqrt{2 - x^2}$.

$u' = 2 - 3x^2$.

$v' = (\sqrt{2 - x^2})' = \frac{(2 - x^2)'}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-2x}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}$.

$f'(x) = (2 - 3x^2)\sqrt{2 - x^2} + (2x - x^3)\left(\frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}\right) = \frac{(2 - 3x^2)(2 - x^2) - x(2x - x^3)}{\sqrt{2 - x^2}}$.

$f'(x) = \frac{4 - 2x^2 - 6x^2 + 3x^4 - 2x^2 + x^4}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$.

5) Для функции $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$ применяем цепное правило для сложной функции $y=6u^3$, где $u = \cos(v)$, а $v = 4-3x$.

$f'(x) = (6(\cos(4 - 3x))^3)' = 6 \cdot 3\cos^2(4 - 3x) \cdot (\cos(4 - 3x))' = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4-3x)) \cdot (4-3x)'$.

$f'(x) = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4-3x)) \cdot (-3) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$.

Ответ: $f'(x) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$.

6) Для функции $f(x) = \sin(4 - 3x)\tg(4 - 3x)$ применяем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \sin(4-3x)$ и $v = \tg(4-3x)$.

$u' = \cos(4-3x) \cdot (-3) = -3\cos(4-3x)$.

$v' = \frac{1}{\cos^2(4-3x)} \cdot (-3) = \frac{-3}{\cos^2(4-3x)}$.

$f'(x) = (-3\cos(4-3x))\tg(4-3x) + \sin(4-3x)\left(\frac{-3}{\cos^2(4-3x)}\right)$.

Учитывая, что $\tg(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$, получаем:

$f'(x) = -3\cos(4-3x)\frac{\sin(4-3x)}{\cos(4-3x)} - \frac{3\sin(4-3x)}{\cos^2(4-3x)} = -3\sin(4-3x) - \frac{3\sin(4-3x)}{\cos^2(4-3x)}$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$f'(x) = -3\sin(4-3x)\left(1 + \frac{1}{\cos^2(4-3x)}\right)$.

Ответ: $f'(x) = -3\sin(4 - 3x)\left(1 + \frac{1}{\cos^2(4 - 3x)}\right)$.

7) Для функции $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$ применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = \sin 5x$ и $v = 1 + 3x$. Тогда $u' = 5\cos 5x$ и $v' = 3$.

$f'(x) = \frac{(5\cos 5x)(1 + 3x) - (\sin 5x)(3)}{(1 + 3x)^2} = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$.

8) Для функции $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$ применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = 2 - 5x$ и $v = \cos 10x$. Тогда $u' = -5$ и $v' = -\sin 10x \cdot 10 = -10\sin 10x$.

$f'(x) = \frac{(-5)(\cos 10x) - (2 - 5x)(-10\sin 10x)}{(\cos 10x)^2} = \frac{-5\cos 10x + 10(2 - 5x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.

$f'(x) = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.