Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $2\sin(0.25x) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$;

2) $2\cos\left(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}\right) + \cos^2(90^\circ) - 2$;

3) $\tan(0.125x) + 4$;

4) $\cot\left(0.5 + \frac{\pi}{4}\right) + 6\sin(180^\circ)$.

1) Дана функция $y = 2\sin(0,25x) + \sin(\frac{\pi}{2})$. Слагаемое $\sin(\frac{\pi}{2})$ является константой, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Таким образом, функция принимает вид $y = 2\sin(0,25x) + 1$. Прибавление константы не влияет на период функции, поэтому период определяется выражением $2\sin(0,25x)$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = 0,25 = \frac{1}{4}$. Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|0.25|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

2) Дана функция $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) + \cos(90^\circ) - 2$. Слагаемые $\cos(90^\circ) - 2$ представляют собой константу, так как $\cos(90^\circ) = 0$, и всё выражение равно $0 - 2 = -2$. Функция упрощается до вида $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) - 2$. Период этой функции определяется выражением $2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4})$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{7}$. Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|1/7|} = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$.

3) Дана функция $y = \text{tg}(0,125x) + 4$. Слагаемое $4$ является константой и не влияет на период функции. Период определяется выражением $\text{tg}(0,125x)$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\cdot\text{tg}(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = 0,125 = \frac{1}{8}$. Следовательно, период равен $T = \frac{\pi}{|0.125|} = \frac{\pi}{1/8} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

4) Дана функция $y = \text{ctg}(0,5 + \frac{\pi}{4}) + 6\sin(180^\circ)$. В представленной записи в аргументе котангенса отсутствует переменная $x$. Вероятнее всего, это опечатка, и имелась в виду функция $y = \text{ctg}(0,5x + \frac{\pi}{4}) + 6\sin(180^\circ)$. Решим задачу в этом предположении. Слагаемое $6\sin(180^\circ)$ является константой, так как $\sin(180^\circ) = 0$. Функция упрощается до $y = \text{ctg}(0,5x + \frac{\pi}{4})$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\cdot\text{ctg}(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = 0,5 = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен $T = \frac{\pi}{|0.5|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.