Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Решите уравнение:

1) $ \sin^2x - 10\sin x = 0; $

2) $ \sin3x = \sin x; $

3) $ \cos^2x + 0.1\cos x = 0; $

4) $ \cos15x = \cos3x; $

5) $ 4\cos^2x = \sin x \cos x; $

6) $ 2\sin^2x = 3\sin x. $

1) $sin^2x - 10sinx = 0$

Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(sinx - 10) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $sinx = 0$. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in Z$).

2. $sinx - 10 = 0$, откуда $sinx = 10$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус – отрезок $[-1; 1]$, и значение $10$ в него не входит.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

2) $sin3x = sinx$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $sin3x - sinx = 0$.

Воспользуемся формулой разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

Применив ее, получаем:

$2sin(\frac{3x-x}{2})cos(\frac{3x+x}{2}) = 0$

$2sin(x)cos(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $sinx = 0$. Отсюда $x = \pi n, n \in Z$.

2. $cos(2x) = 0$. Отсюда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что дает $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

3) $cos^2x + 0,1cosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx + 0,1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $cosx = 0$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

2. $cosx + 0,1 = 0$, откуда $cosx = -0,1$. Решением этого уравнения является $x = \pm arccos(-0,1) + 2\pi k, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = \pm arccos(-0,1) + 2\pi k, k \in Z$.

4) $cos15x = cos3x$

Уравнение вида $cos\alpha = cos\beta$ равносильно совокупности двух серий решений: $\alpha = \beta + 2\pi m$ и $\alpha = -\beta + 2\pi m$, где $m$ - целое число.

1. $15x = 3x + 2\pi k$

$12x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{12} = \frac{\pi k}{6}, k \in Z$.

2. $15x = -3x + 2\pi n$

$18x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{18} = \frac{\pi n}{9}, n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, k \in Z$; $x = \frac{\pi n}{9}, n \in Z$.

5) $4cos^2x = sinx cosx$

Перенесем все члены в левую часть: $4cos^2x - sinx cosx = 0$.

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(4cosx - sinx) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $cosx = 0$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

2. $4cosx - sinx = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение. $4cosx = sinx$. Если предположить, что $cosx=0$, то из этого уравнения следует, что и $sinx=0$, что невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1$. Следовательно, в этом случае $cosx \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:

$4 = \frac{sinx}{cosx}$

$tanx = 4$

$x = arctan(4) + \pi k, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = arctan(4) + \pi k, k \in Z$.

6) $2sin^2x = 3sinx$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$2sin^2x - 3sinx = 0$

$sinx(2sinx - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $sinx = 0$. Решением является $x = \pi n, n \in Z$.

2. $2sinx - 3 = 0$, откуда $sinx = \frac{3}{2} = 1,5$. Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.