Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке:

1) $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{3}{x - 1}, x_0 = 3;$

3) $f(x) = \cos^2 3x + \operatorname{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{6};$

4) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}, x_0 = 2\sqrt{2}.$

1) Дана функция $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.

$f'(x) = (4x^3 - x^4 + 10)' = (4x^3)' - (x^4)' + (10)' = 4 \cdot 3x^{3-1} - 4x^{4-1} + 0 = 12x^2 - 4x^3$.

Теперь подставим значение точки $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1)^3 = 12(1) - 4(-1) = 12 + 4 = 16$.

Ответ: $16$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x-1}$ и точка $x_0 = 3$.

Найдем производную функции. Можно использовать правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представить функцию в виде $f(x) = 3(x-1)^{-1}$ и использовать правило для степенной функции и цепное правило.

Используя правило для частного, где $u=3$ и $v=x-1$, получаем $u'=0$ и $v'=1$.

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

Теперь подставим значение точки $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$f'(3) = -\frac{3}{(3-1)^2} = -\frac{3}{2^2} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = \cos^2(3x) + \tg(x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдем производную функции. Это сумма двух функций, поэтому найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Для первого слагаемого $y_1 = \cos^2(3x)$ используем цепное правило. Пусть $u = \cos(3x)$, тогда $y_1 = u^2$. Производная $(u^2)' = 2u \cdot u'$. Производная $u' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Тогда $(\cos^2(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (-3\sin(3x)) = -6\sin(3x)\cos(3x)$. Можно упростить, используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$: $-3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(6x)$.

Для второго слагаемого $y_2 = \tg(x)$ производная известна: $(\tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Таким образом, производная исходной функции: $f'(x) = -3\sin(6x) + \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{6})} = -3\sin(\pi) + \frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -3 \cdot 0 + \frac{1}{\frac{3}{4}} = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}$ и точка $x_0 = 2\sqrt{2}$.

Найдем производную функции, используя цепное правило для функции вида $\sqrt{u}$, производная которой равна $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Здесь $u = 5x^2 - 4$, тогда $u' = (5x^2 - 4)' = 10x$.

$f'(x) = (\sqrt{5x^2 - 4})' = \frac{10x}{2\sqrt{5x^2 - 4}} = \frac{5x}{\sqrt{5x^2 - 4}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 2\sqrt{2}$ в выражение для производной. Для удобства сначала вычислим $x_0^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

$f'(2\sqrt{2}) = \frac{5 \cdot (2\sqrt{2})}{\sqrt{5 \cdot (2\sqrt{2})^2 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5 \cdot 8 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{40 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{36}} = \frac{10\sqrt{2}}{6}$.

Сократим дробь: $\frac{10\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$.