Номер 16, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16. Найдите промежутки убывания, точки максимума и точки мини-мума функции:

1) $y = (x - 5)(x + 1)^3 \cdot (x - 2)^4$;

2) $y = (x + 1,5) \cdot (x - 1,5)^2 \cdot (x - 2)^3$.

1) Для функции $y = (x - 5)(x + 1)^3(x - 2)^4$.

Чтобы найти промежутки убывания и точки экстремума, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю, найти критические точки и исследовать знак производной на интервалах, образованных этими точками.

1. Нахождение производной.

Используем правило дифференцирования произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$.

Пусть $u = x-5$, $v = (x+1)^3$, $w = (x-2)^4$.

Тогда их производные: $u' = 1$, $v' = 3(x+1)^2 \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2$, $w' = 4(x-2)^3 \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3$.

$y' = 1 \cdot (x+1)^3(x-2)^4 + (x-5) \cdot 3(x+1)^2(x-2)^4 + (x-5)(x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$.

Вынесем общие множители $(x+1)^2$ и $(x-2)^3$ за скобки:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [ (x+1)(x-2) + 3(x-5)(x-2) + 4(x-5)(x+1) ]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - x - 2) + 3(x^2 - 7x + 10) + 4(x^2 - 4x - 5) ]$

$= [ x^2 - x - 2 + 3x^2 - 21x + 30 + 4x^2 - 16x - 20 ]$

$= (1+3+4)x^2 + (-1-21-16)x + (-2+30-20)$

$= 8x^2 - 38x + 8 = 2(4x^2 - 19x + 4)$.

Таким образом, производная равна:

$y' = 2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4)$.

2. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4) = 0$.

Это уравнение дает следующие корни:

а) $(x+1)^2 = 0 \implies x_1 = -1$ (корень кратности 2).

б) $(x-2)^3 = 0 \implies x_2 = 2$ (корень кратности 3).

в) $4x^2 - 19x + 4 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 361 - 64 = 297$.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 4} = \frac{19 \pm \sqrt{9 \cdot 33}}{8} = \frac{19 \pm 3\sqrt{33}}{8}$.

$x_3 = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x_4 = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

3. Исследование знака производной.

Критические точки в порядке возрастания: $x_1=-1$, $x_3 \approx 0.22$, $x_2=2$, $x_4 \approx 4.53$.

Множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен, поэтому при переходе через точку $x=-1$ знак производной не меняется.

В точках $x_2, x_3, x_4$ (корни нечетной кратности) знак производной меняется.

Определим знаки $y'$ на интервалах методом интервалов:

- $(-\infty, -1)$: $y' < 0$ (убывает).

- $(-1, \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}, 2)$: $y' > 0$ (возрастает).

- $(2, \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}, +\infty)$: $y' > 0$ (возрастает).

4. Определение промежутков и экстремумов.

- Промежутки убывания (где $y' \le 0$): $(-\infty, \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}]$ и $[2, \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}]$.

- Точка максимума (знак $y'$ меняется с «+» на «–»): $x = 2$.

- Точки минимума (знак $y'$ меняется с «–» на «+»): $x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

В точке $x=-1$ экстремума нет (точка перегиба).

Ответ: Промежутки убывания: $(-\infty, \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}]$ и $[2, \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}]$. Точки максимума: $x = 2$. Точки минимума: $x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

2) Для функции $y = (x + 1,5)(x - 1,5)^2(x - 2)^3$.

Действуем по тому же алгоритму.

1. Нахождение производной.

$y' = ((x + 1,5)(x - 1,5)^2(x - 2)^3)'$.

Применим правило дифференцирования произведения и вынесем общие множители $(x - 1,5)$ и $(x - 2)^2$ за скобки:

$y' = (x - 1,5)(x - 2)^2 [1 \cdot (x - 1,5)(x - 2) + (x + 1,5) \cdot 2(x - 2) + (x + 1,5)(x - 1,5) \cdot 3]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - 3,5x + 3) + 2(x^2 - 0,5x - 3) + 3(x^2 - 2,25) ]$

$= [ x^2 - 3,5x + 3 + 2x^2 - x - 6 + 3x^2 - 6,75 ]$

$= 6x^2 - 4,5x - 9,75$.

Для удобства переведем в обыкновенные дроби: $6x^2 - \frac{9}{2}x - \frac{39}{4} = \frac{3}{4}(8x^2 - 6x - 13)$.

Производная имеет вид:

$y' = \frac{3}{4}(x - 1,5)(x - 2)^2(8x^2 - 6x - 13)$.

2. Нахождение критических точек.

$y' = 0$ при:

а) $x - 1,5 = 0 \implies x_1 = 1,5$ (или $3/2$).

б) $(x - 2)^2 = 0 \implies x_2 = 2$ (корень кратности 2).

в) $8x^2 - 6x - 13 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-13) = 36 + 416 = 452$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{452}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 113}}{16} = \frac{6 \pm 2\sqrt{113}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{113}}{8}$.

$x_3 = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x_4 = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

3. Исследование знака производной.

Критические точки в порядке возрастания: $x_3 \approx -0.96$, $x_1 = 1.5$, $x_4 \approx 1.7$, $x_2 = 2$.

Знак производной не меняется при переходе через $x=2$ (корень четной кратности), но меняется в точках $x_1, x_3, x_4$.

- $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{113}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{3 - \sqrt{113}}{8}, 1,5)$: $y' > 0$ (возрастает).

- $(1,5, \frac{3 + \sqrt{113}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{3 + \sqrt{113}}{8}, 2)$: $y' > 0$ (возрастает).

- $(2, +\infty)$: $y' > 0$ (возрастает).

4. Определение промежутков и экстремумов.

- Промежутки убывания (где $y' \le 0$): $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{113}}{8}]$ и $[1,5, \frac{3 + \sqrt{113}}{8}]$.

- Точка максимума (знак $y'$ меняется с «+» на «–»): $x = 1,5$.

- Точки минимума (знак $y'$ меняется с «–» на «+»): $x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

В точке $x=2$ экстремума нет.

Ответ: Промежутки убывания: $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{113}}{8}]$ и $[1,5, \frac{3 + \sqrt{113}}{8}]$. Точки максимума: $x = 1,5$. Точки минимума: $x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.