Номер 12, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12. 1) Решите уравнение $f(x) + f'(x) = 0$, если $f(x) = x^2 + 3x - 36$;

2) решите неравенство $f'(x) - f(x) < 0$, если $f(x) = -x^2 - 6x + 6$.

1)

Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 36$.

Сначала найдем производную этой функции:

$f'(x) = (x^2 + 3x - 36)' = (x^2)' + (3x)' - (36)' = 2x + 3$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в уравнение $f(x) + f'(x) = 0$:

$(x^2 + 3x - 36) + (2x + 3) = 0$.

Упростим полученное уравнение, приведя подобные слагаемые:

$x^2 + (3x + 2x) + (-36 + 3) = 0$

$x^2 + 5x - 33 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 25 + 132 = 157$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{157}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{157}}{2}$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{157}}{2}$.

2)

Дана функция $f(x) = -x^2 - 6x + 6$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = (-x^2 - 6x + 6)' = (-x^2)' - (6x)' + (6)' = -2x - 6$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в неравенство $f(x) - f'(x) < 0$:

$(-x^2 - 6x + 6) - (-2x - 6) < 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x^2 - 6x + 6 + 2x + 6 < 0$

$-x^2 - 4x + 12 < 0$.

Чтобы удобнее было решать, умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + 4x - 12 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. Это можно сделать по теореме Виета или через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней равна -4, а их произведение равно -12. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля ($y > 0$) на интервалах, находящихся за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 4x - 12 > 0$ это $x < -6$ или $x > 2$.

В виде интервалов решение записывается как $(-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.