Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5. Решите уравнение:

1) $\sin x + \sin 2x = 2\cos^2 x + \cos x;$

2) $\sin^2 x - 0,25 = 0;$

3) $\sin^2 x - 1,5\sin x = -0,5;$

4) $\cos^2 x - 0,5\cos x = 0,5;$

5) $\sin^2 2x - \sin 4x = 3\cos^2 2x;$

6) $3\sin^2 3x + \sin 6x - \cos^2 3x = 0.$

1)

Исходное уравнение: $\sin x + \sin 2x = 2\cos^2 x + \cos x$.

Применим формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$\sin x + 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x + \cos x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\sin x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x - \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(\sin x - \cos x) + (2\sin x \cos x - 2\cos^2 x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(\sin x - \cos x) + 2\cos x(\sin x - \cos x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки:

$(\sin x - \cos x)(1 + 2\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin x - \cos x = 0$

б) $1 + 2\cos x = 0$

Решим первое уравнение: $\sin x = \cos x$. Если предположить, что $\cos x \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos x$, получив $\tan x = 1$. Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Случай $\cos x = 0$ не является решением, так как тогда $\sin x = \pm 1$, а $0 \neq \pm 1$).

Решим второе уравнение: $1 + 2\cos x = 0$, откуда $2\cos x = -1$, и $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решением этого уравнения является $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $\sin^2 x - 0,25 = 0$.

Перенесем 0,25 в правую часть:

$\sin^2 x = 0,25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sin x = \pm \sqrt{0,25} = \pm 0,5$

Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

а) $\sin x = 0,5$

б) $\sin x = -0,5$

Решением уравнения $\sin x = a$ является $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$.

Для $\sin x = 0,5$: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $\sin x = -0,5$: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Исходное уравнение: $\sin^2 x - 1,5\sin x = -0,5$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$\sin^2 x - 1,5\sin x + 0,5 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.

$t^2 - 1,5t + 0,5 = 0$.

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $t = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену:

а) $\sin x = 1$. Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = 0,5$. Решение: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Исходное уравнение: $\cos^2 x - 0,5\cos x = 0,5$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\cos^2 x - 0,5\cos x - 0,5 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.

$t^2 - 0,5t - 0,5 = 0$.

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - t - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену:

а) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x = -0,5$. Решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

5)

Исходное уравнение: $\sin^2 2x - \sin 4x = 3\cos^2 2x$.

Применим формулу двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:

$\sin^2 2x - 2\sin 2x \cos 2x = 3\cos^2 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 2x - 2\sin 2x \cos 2x - 3\cos^2 2x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равным нулю. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$.

$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{2\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{3\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$\tan^2 2x - 2\tan 2x - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan 2x$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

а) $\tan 2x = 3$. Решение: $2x = \arctan(3) + \pi n \implies x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 2x = -1$. Решение: $2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

6)

Исходное уравнение: $3\sin^2 3x + \sin 6x - \cos^2 3x = 0$.

Применим формулу двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$:

$3\sin^2 3x + 2\sin 3x \cos 3x - \cos^2 3x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos 3x = 0$, то $\sin^2 3x = 1$. Подставив в уравнение, получим $3 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 3x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 3x$.

$\frac{3\sin^2 3x}{\cos^2 3x} + \frac{2\sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} - \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$

$3\tan^2 3x + 2\tan 3x - 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan 3x$.

$3t^2 + 2t - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $t = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

$t_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$

Выполним обратную замену:

а) $\tan 3x = \frac{1}{3}$. Решение: $3x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 3x = -1$. Решение: $3x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.