Страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Постройте график функции:

1) $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$;

2) $y = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \cos^2x + \sin^2x + 1$;

4) $y = 2\operatorname{tg}\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

2. Постройте графи функции:

1) Для построения графика функции $y = 1 - \cos(\frac{x}{2})$ выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика $y = \cos(x)$.

1. Строим график функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график $y = \cos(\frac{x}{2})$. Это растяжение графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Далее строим $y = -\cos(\frac{x}{2})$. Это симметричное отражение предыдущего графика относительно оси Ox.

4. Наконец, строим $y = 1 - \cos(\frac{x}{2})$. Это сдвиг последнего графика вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.

Найдем ключевые точки для одного периода $[0, 4\pi]$:

• При $x=0$, $y = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$. Точка $(0, 0)$.

• При $x=\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$. Точка $(\pi, 1)$.

• При $x=2\pi$, $y = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. Это точка максимума. Точка $(2\pi, 2)$.

• При $x=3\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$. Точка $(3\pi, 1)$.

• При $x=4\pi$, $y = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. Точка $(4\pi, 0)$.

Область значений функции: $y \in [0, 2]$.

Ответ: График функции — косинусоида, отраженная относительно оси абсцисс, растянутая в 2 раза вдоль оси абсцисс (период $4\pi$) и смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. График колеблется в диапазоне $[0, 2]$, касаясь оси Ox в точках $x = 4k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Построение графика функции $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$ выполняется преобразованиями графика $y = \sin(x)$.

1. Строим график $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график $y = 3\sin(x)$. Это растяжение графика вдоль оси Oy в 3 раза. Амплитуда становится равной 3, а область значений — $[-3, 3]$.

3. Сдвигаем полученный график $y = 3\sin(x)$ вправо на $\frac{\pi}{4}$ вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Это называется фазовым сдвигом.

Период функции остается $T = 2\pi$. Найдем ключевые точки для одного периода, который теперь начинается в $x = \frac{\pi}{4}$ и заканчивается в $x = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$.

• Начало периода (пересечение с центральной линией $y=0$ и идет вверх): $x - \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

• Максимум: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4}$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 3)$.

• Пересечение с центральной линией (идет вниз): $x - \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{4}$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.

• Минимум: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{4}$. Точка $(\frac{7\pi}{4}, -3)$.

• Конец периода: $x - \frac{\pi}{4} = 2\pi \Rightarrow x = \frac{9\pi}{4}$. Точка $(\frac{9\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции — синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 3 (область значений $[-3, 3]$) и сдвинутая по оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{4}$.

3) Для построения графика этой функции сначала упростим ее выражение. Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$y = (\cos^2 x + \sin^2 x) + 1 = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, функция имеет вид $y = 2$ для всех действительных значений $x$.

Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси Oy.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y = 2$.

4) Построение графика функции $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$ выполняется преобразованиями графика $y = \tan(x)$.

1. Запишем функцию в виде $y = 2\tan(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$, чтобы явно видеть все преобразования.

2. Начнем с $y = \tan(x)$. Период $\pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

3. $y = \tan(2x)$: сжатие по оси Ox в 2 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{2}$. Асимптоты: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

4. $y = \tan(2(x + \frac{\pi}{8}))$: сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{8}$. Асимптоты смещаются: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

5. $y = 2\tan(2(x + \frac{\pi}{8}))$: растяжение в 2 раза вдоль оси Oy. График становится "круче".

6. $y = 2\tan(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$: сдвиг вниз по оси Oy на 2 единицы.

Сведем воедино свойства итогового графика:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.

• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число.

• Точки перегиба (центры симметрии для каждой ветви): до сдвига вниз они были на оси Ox. Теперь они находятся на прямой $y=-2$. Найдем их абсциссы: $2x + \frac{\pi}{4} = n\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$. Точки перегиба: $(-\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}, -2)$.

• Для построения одной ветви, например, на интервале $(-\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8})$, используем точку перегиба $(-\frac{\pi}{8}, -2)$ и еще пару точек. Например, при $x=0$, $y = 2\tan(\frac{\pi}{4}) - 2 = 2(1)-2=0$. Точка $(0,0)$.

Ответ: График функции — тангенсоида с периодом $T = \frac{\pi}{2}$, растянутая в 2 раза по вертикали, сдвинутая влево на $\frac{\pi}{8}$ и вниз на 2. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x}$;

3) $y = 4\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x - 5$;

4) $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}$.

1)Исходная функция: $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Тогда функция принимает вид: $y = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\cos x \neq 0$.

Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения мы можем сократить дробь: $y = \cos x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ за исключением точек, в которых $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Эти точки называются выколотыми.

Найдем координаты выколотых точек. Абсциссы: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Ординаты: $y = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$.

Следовательно, выколотые точки имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = \cos x$ с выколотыми точками в точках пересечения с осью абсцисс, то есть точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2)Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x}$.

Используя тождество $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, получаем: $y = \frac{\sqrt{\cos^2 x}}{\cos x}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и функция равна $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Это происходит на интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и функция равна $y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$. Это происходит на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

График функции представляет собой набор горизонтальных линий на уровнях $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков: $y=1$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и $y=-1$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена.

3)Исходная функция: $y = 4\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x - 5$.

Найдем ОДЗ. Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ не может быть кратным $\frac{\pi}{2}$. ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения выполняется тождество $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = 1$.

Подставим это в исходную функцию: $y = 4 \cdot 1 - 5 = -1$.

Графиком функции является прямая $y=-1$, из которой исключены (выколоты) точки, не входящие в ОДЗ.

Координаты выколотых точек: $(\frac{\pi k}{2}, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=-1$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi k}{2}, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4)Исходная функция: $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим в функцию: $y = 3 - \frac{2\sin x \cos x}{2\cos x}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $2\cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, или $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На ОДЗ мы можем сократить $\cos x$: $y = 3 - \sin x$.

Графиком этой функции является синусоида. Он получается из графика $y = \sin x$ путем следующих преобразований:

1. Отражение относительно оси абсцисс (получаем $y = -\sin x$).

2. Сдвиг вверх на 3 единицы (получаем $y = 3 - \sin x$).

График колеблется относительно прямой $y=3$ в диапазоне от $y=2$ до $y=4$.

Из этого графика нужно выколоть точки, не входящие в ОДЗ.

Абсциссы выколотых точек: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Найдем ординаты:

- При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$), $y = 3 - \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 - 1 = 2$. Точки $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2)$.

- При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$), $y = 3 - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 3 - (-1) = 4$. Точки $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 4)$.

Эти точки являются точками минимума и максимума функции $y = 3 - \sin x$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = 3 - \sin x$ с выколотыми точками в ее локальных максимумах и минимумах, то есть точками вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$ и $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 4)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $2\sin(0.25x) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$;

2) $2\cos\left(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}\right) + \cos^2(90^\circ) - 2$;

3) $\tan(0.125x) + 4$;

4) $\cot\left(0.5 + \frac{\pi}{4}\right) + 6\sin(180^\circ)$.

1) Дана функция $y = 2\sin(0,25x) + \sin(\frac{\pi}{2})$. Слагаемое $\sin(\frac{\pi}{2})$ является константой, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Таким образом, функция принимает вид $y = 2\sin(0,25x) + 1$. Прибавление константы не влияет на период функции, поэтому период определяется выражением $2\sin(0,25x)$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = 0,25 = \frac{1}{4}$. Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|0.25|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

2) Дана функция $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) + \cos(90^\circ) - 2$. Слагаемые $\cos(90^\circ) - 2$ представляют собой константу, так как $\cos(90^\circ) = 0$, и всё выражение равно $0 - 2 = -2$. Функция упрощается до вида $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) - 2$. Период этой функции определяется выражением $2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4})$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{7}$. Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|1/7|} = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$.

3) Дана функция $y = \text{tg}(0,125x) + 4$. Слагаемое $4$ является константой и не влияет на период функции. Период определяется выражением $\text{tg}(0,125x)$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\cdot\text{tg}(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = 0,125 = \frac{1}{8}$. Следовательно, период равен $T = \frac{\pi}{|0.125|} = \frac{\pi}{1/8} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

4) Дана функция $y = \text{ctg}(0,5 + \frac{\pi}{4}) + 6\sin(180^\circ)$. В представленной записи в аргументе котангенса отсутствует переменная $x$. Вероятнее всего, это опечатка, и имелась в виду функция $y = \text{ctg}(0,5x + \frac{\pi}{4}) + 6\sin(180^\circ)$. Решим задачу в этом предположении. Слагаемое $6\sin(180^\circ)$ является константой, так как $\sin(180^\circ) = 0$. Функция упрощается до $y = \text{ctg}(0,5x + \frac{\pi}{4})$. Наименьший положительный период для функции вида $y = A\cdot\text{ctg}(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = 0,5 = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен $T = \frac{\pi}{|0.5|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

4. Решите уравнение:

1) $ \sin^2x - 10\sin x = 0; $

2) $ \sin3x = \sin x; $

3) $ \cos^2x + 0.1\cos x = 0; $

4) $ \cos15x = \cos3x; $

5) $ 4\cos^2x = \sin x \cos x; $

6) $ 2\sin^2x = 3\sin x. $

1) $sin^2x - 10sinx = 0$

Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(sinx - 10) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $sinx = 0$. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in Z$).

2. $sinx - 10 = 0$, откуда $sinx = 10$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус – отрезок $[-1; 1]$, и значение $10$ в него не входит.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

2) $sin3x = sinx$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $sin3x - sinx = 0$.

Воспользуемся формулой разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

Применив ее, получаем:

$2sin(\frac{3x-x}{2})cos(\frac{3x+x}{2}) = 0$

$2sin(x)cos(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $sinx = 0$. Отсюда $x = \pi n, n \in Z$.

2. $cos(2x) = 0$. Отсюда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что дает $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

3) $cos^2x + 0,1cosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx + 0,1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $cosx = 0$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

2. $cosx + 0,1 = 0$, откуда $cosx = -0,1$. Решением этого уравнения является $x = \pm arccos(-0,1) + 2\pi k, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = \pm arccos(-0,1) + 2\pi k, k \in Z$.

4) $cos15x = cos3x$

Уравнение вида $cos\alpha = cos\beta$ равносильно совокупности двух серий решений: $\alpha = \beta + 2\pi m$ и $\alpha = -\beta + 2\pi m$, где $m$ - целое число.

1. $15x = 3x + 2\pi k$

$12x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{12} = \frac{\pi k}{6}, k \in Z$.

2. $15x = -3x + 2\pi n$

$18x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{18} = \frac{\pi n}{9}, n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, k \in Z$; $x = \frac{\pi n}{9}, n \in Z$.

5) $4cos^2x = sinx cosx$

Перенесем все члены в левую часть: $4cos^2x - sinx cosx = 0$.

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(4cosx - sinx) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $cosx = 0$. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

2. $4cosx - sinx = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение. $4cosx = sinx$. Если предположить, что $cosx=0$, то из этого уравнения следует, что и $sinx=0$, что невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1$. Следовательно, в этом случае $cosx \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:

$4 = \frac{sinx}{cosx}$

$tanx = 4$

$x = arctan(4) + \pi k, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = arctan(4) + \pi k, k \in Z$.

6) $2sin^2x = 3sinx$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$2sin^2x - 3sinx = 0$

$sinx(2sinx - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $sinx = 0$. Решением является $x = \pi n, n \in Z$.

2. $2sinx - 3 = 0$, откуда $sinx = \frac{3}{2} = 1,5$. Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

5. Решите уравнение:

1) $\sin x + \sin 2x = 2\cos^2 x + \cos x;$

2) $\sin^2 x - 0,25 = 0;$

3) $\sin^2 x - 1,5\sin x = -0,5;$

4) $\cos^2 x - 0,5\cos x = 0,5;$

5) $\sin^2 2x - \sin 4x = 3\cos^2 2x;$

6) $3\sin^2 3x + \sin 6x - \cos^2 3x = 0.$

1)

Исходное уравнение: $\sin x + \sin 2x = 2\cos^2 x + \cos x$.

Применим формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$\sin x + 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x + \cos x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\sin x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x - \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(\sin x - \cos x) + (2\sin x \cos x - 2\cos^2 x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(\sin x - \cos x) + 2\cos x(\sin x - \cos x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки:

$(\sin x - \cos x)(1 + 2\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin x - \cos x = 0$

б) $1 + 2\cos x = 0$

Решим первое уравнение: $\sin x = \cos x$. Если предположить, что $\cos x \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos x$, получив $\tan x = 1$. Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Случай $\cos x = 0$ не является решением, так как тогда $\sin x = \pm 1$, а $0 \neq \pm 1$).

Решим второе уравнение: $1 + 2\cos x = 0$, откуда $2\cos x = -1$, и $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решением этого уравнения является $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $\sin^2 x - 0,25 = 0$.

Перенесем 0,25 в правую часть:

$\sin^2 x = 0,25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sin x = \pm \sqrt{0,25} = \pm 0,5$

Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

а) $\sin x = 0,5$

б) $\sin x = -0,5$

Решением уравнения $\sin x = a$ является $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$.

Для $\sin x = 0,5$: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $\sin x = -0,5$: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Исходное уравнение: $\sin^2 x - 1,5\sin x = -0,5$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$\sin^2 x - 1,5\sin x + 0,5 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.

$t^2 - 1,5t + 0,5 = 0$.

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $t = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену:

а) $\sin x = 1$. Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = 0,5$. Решение: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Исходное уравнение: $\cos^2 x - 0,5\cos x = 0,5$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\cos^2 x - 0,5\cos x - 0,5 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.

$t^2 - 0,5t - 0,5 = 0$.

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - t - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену:

а) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x = -0,5$. Решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

5)

Исходное уравнение: $\sin^2 2x - \sin 4x = 3\cos^2 2x$.

Применим формулу двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:

$\sin^2 2x - 2\sin 2x \cos 2x = 3\cos^2 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 2x - 2\sin 2x \cos 2x - 3\cos^2 2x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равным нулю. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$.

$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{2\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{3\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$\tan^2 2x - 2\tan 2x - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan 2x$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

а) $\tan 2x = 3$. Решение: $2x = \arctan(3) + \pi n \implies x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 2x = -1$. Решение: $2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

6)

Исходное уравнение: $3\sin^2 3x + \sin 6x - \cos^2 3x = 0$.

Применим формулу двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$:

$3\sin^2 3x + 2\sin 3x \cos 3x - \cos^2 3x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos 3x = 0$, то $\sin^2 3x = 1$. Подставив в уравнение, получим $3 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 3x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 3x$.

$\frac{3\sin^2 3x}{\cos^2 3x} + \frac{2\sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} - \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$

$3\tan^2 3x + 2\tan 3x - 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan 3x$.

$3t^2 + 2t - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $t = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

$t_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$

Выполним обратную замену:

а) $\tan 3x = \frac{1}{3}$. Решение: $3x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 3x = -1$. Решение: $3x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

6. Решите неравенство:

1) $ \cos \left(x + \frac{\pi}{5}\right) > \frac{1}{2}; $

2) $ \sin \left(-x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \operatorname{tg} \left(0.5 - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3}; $

4) $ \cos^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0; $

5) $ \cos \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) > 0.5; $

6) $ \operatorname{ctg} \left(2.5x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{\sqrt{3}}. $

1) Решим неравенство $ \cos(x + \frac{\pi}{5}) > \frac{1}{2} $.

Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \cos(t) > \frac{1}{2} $.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал $ -\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k < t < \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $, получаем $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $.

Вернемся к исходной переменной $ x $: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $.

Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей неравенства: $ -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k $.

Приведем дроби к общему знаменателю 15: $ -\frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} + 2\pi k $.

Упростим: $ -\frac{8\pi}{15} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{15} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in (-\frac{8\pi}{15} + 2\pi k; \frac{2\pi}{15} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin(-x + \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $: $ \sin(-(x - \frac{\pi}{6})) = -\sin(x - \frac{\pi}{6}) $.

Неравенство принимает вид $ -\sin(x - \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $ \sin(x - \frac{\pi}{6}) > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сделаем замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k < t < \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $, получаем $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k $, что равносильно $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $.

Вернемся к переменной $ x $: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $.

Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям: $ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $ -\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{15\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi k $.

Упростим: $ -\frac{\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{17\pi}{12} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{12} + 2\pi k; \frac{17\pi}{12} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \text{tg}(0,5x - \frac{\pi}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Запишем 0,5 как $ \frac{1}{2} $: $ \text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \text{tg}(t) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} $, получаем $ \frac{\pi}{6} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Вернемся к переменной $ x $: $ \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям: $ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k $.

Упростим суммы: $ \frac{\pi+2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi+2\pi}{6} + \pi k $, что равносильно $ \frac{3\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $, или $ \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $.

Умножим все части на 2: $ \pi + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in (\pi + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos^2(x + \frac{\pi}{4}) - \sin^2(x + \frac{\pi}{4}) < 0 $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.

Пусть $ \alpha = x + \frac{\pi}{4} $, тогда неравенство примет вид $ \cos(2(x + \frac{\pi}{4})) < 0 $.

Упростим аргумент косинуса: $ \cos(2x + \frac{\pi}{2}) < 0 $.

Используем формулу приведения $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) $. Неравенство станет $ -\sin(2x) < 0 $.

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \sin(2x) > 0 $.

Сделаем замену $ t = 2x $. Получаем $ \sin(t) > 0 $.

Решением этого неравенства является интервал $ 2\pi k < t < \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вернемся к переменной $ x $: $ 2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k $.

Разделим все части на 2: $ \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Ответ: $ x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos(3x - \frac{\pi}{3})\sin(3x - \frac{\pi}{3}) > 0,5 $.

Запишем 0,5 как $ \frac{1}{2} $: $ \sin(3x - \frac{\pi}{3})\cos(3x - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $. Отсюда $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

Пусть $ \alpha = 3x - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \frac{1}{2}\sin(2(3x - \frac{\pi}{3})) > \frac{1}{2} $.

Упростим аргумент: $ \frac{1}{2}\sin(6x - \frac{2\pi}{3}) > \frac{1}{2} $.

Умножим обе части на 2: $ \sin(6x - \frac{2\pi}{3}) > 1 $.

Так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, то есть $ \sin(\alpha) \le 1 $ для любого $ \alpha $, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $ x \in \varnothing $.

6) Решим неравенство $ \text{ctg}(2,5x + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Запишем 2,5 как $ \frac{5}{2} $ и $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ как $ \frac{\sqrt{3}}{3} $: $ \text{ctg}(\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Сделаем замену $ t = \frac{5x}{2} + \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg}(t) < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k < t < \pi + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3} $, получаем $ \frac{\pi}{3} + \pi k < t < \pi + \pi k $.

Вернемся к переменной $ x $: $ \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{5x}{2} + \frac{\pi}{6} < \pi + \pi k $.

Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей: $ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{5x}{2} < \pi - \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Упростим разности: $ \frac{2\pi-\pi}{6} + \pi k < \frac{5x}{2} < \frac{6\pi-\pi}{6} + \pi k $, что равносильно $ \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{5x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $.

Умножим все части на $ \frac{2}{5} $: $ \frac{2}{5}(\frac{\pi}{6} + \pi k) < x < \frac{2}{5}(\frac{5\pi}{6} + \pi k) $.

Раскроем скобки: $ \frac{2\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{10\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} $.

Сократим дроби: $ \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5}), k \in \mathbb{Z} $.

7. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin \frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$

2) $y = \arcsin(x - 3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$

1) Для функции $y = \arcsin\frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$ область определения (ОДЗ) находится как пересечение областей определения двух слагаемых.

Первое слагаемое $y_1 = \arcsin\frac{1}{x}$. Область определения арксинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для аргумента $\frac{1}{x}$ должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$.

Также знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.

Данное двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x} \le 1 \\ \frac{1}{x} \ge -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1-x}{x} \le 0 \\ \frac{1+x}{x} \ge 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство $\frac{1-x}{x} \le 0$ методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

Решая второе неравенство $\frac{1+x}{x} \ge 0$ методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Пересечение этих двух решений дает нам область определения для первого слагаемого: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Второе слагаемое $y_2 = \sqrt{4 - 3x - x^2}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$4 - 3x - x^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x - 4 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-4, 1]$.

Теперь найдем пересечение областей определения обоих слагаемых:

$((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \cap [-4, 1]$.

Пересечением является множество $[-4, -1] \cup \{1\}$.

Ответ: $D(y) = [-4, -1] \cup \{1\}$.

2) Для функции $y = \arcsin(x - 3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$ область определения (ОДЗ) также находится как пересечение областей определения двух слагаемых.

Первое слагаемое $y_1 = \arcsin(x - 3)$. Аргумент арксинуса должен лежать в пределах от -1 до 1:

$-1 \le x - 3 \le 1$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x \le 1 + 3$,

$2 \le x \le 4$.

Таким образом, для первого слагаемого область определения $x \in [2, 4]$.

Второе слагаемое $y_2 = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется "по краям" от корней:

$x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных областей определения:

$[2, 4] \cap ((-\infty, -1] \cup [3, +\infty))$.

Пересекая отрезок $[2, 4]$ с множеством $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, получаем отрезок $[3, 4]$.

Ответ: $D(y) = [3, 4]$.

8. Если $f(x) = x^3 - 1$, $g(x) = \sin x$ и $q(x) = \sqrt{x+1}$, то составьте следующие сложные функции:

1) $f(g(x));$

2) $f(q(x));$

3) $q(g(x));$

4) $g(f(x));$

5) $f(g(q(x)));$

6) $g(q(f(x)))$.

1) f(g(x));

Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^3 - 1$ и $g(x) = \sin x$.

Выполняем подстановку $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = (g(x))^3 - 1 = (\sin x)^3 - 1 = \sin^3 x - 1$.

Ответ: $f(g(x)) = \sin^3 x - 1$.

2) f(q(x));

Для нахождения сложной функции $f(q(x))$ необходимо подставить функцию $q(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^3 - 1$ и $q(x) = \sqrt{x+1}$.

Выполняем подстановку $q(x)$ в $f(x)$:

$f(q(x)) = (q(x))^3 - 1 = (\sqrt{x+1})^3 - 1$.

Это выражение также можно записать как $(x+1)\sqrt{x+1} - 1$ или $(x+1)^{3/2} - 1$.

Ответ: $f(q(x)) = (\sqrt{x+1})^3 - 1$.

3) q(g(x));

Для нахождения сложной функции $q(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $q(x)$.

Даны функции: $q(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = \sin x$.

Выполняем подстановку $g(x)$ в $q(x)$:

$q(g(x)) = \sqrt{g(x)+1} = \sqrt{\sin x + 1}$.

Ответ: $q(g(x)) = \sqrt{\sin x + 1}$.

4) g(f(x));

Для нахождения сложной функции $g(f(x))$ необходимо подставить функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$.

Даны функции: $g(x) = \sin x$ и $f(x) = x^3 - 1$.

Выполняем подстановку $f(x)$ в $g(x)$:

$g(f(x)) = \sin(f(x)) = \sin(x^3 - 1)$.

Ответ: $g(f(x)) = \sin(x^3 - 1)$.

5) f(g(q(x)));

Для нахождения тройной композиции $f(g(q(x)))$ нужно выполнить подстановку последовательно. Сначала найдем внутреннюю функцию $h(x) = g(q(x))$.

$h(x) = g(q(x)) = \sin(q(x)) = \sin(\sqrt{x+1})$.

Теперь подставим полученный результат $h(x)$ в функцию $f(x)$:

$f(g(q(x))) = f(h(x)) = (h(x))^3 - 1 = (\sin(\sqrt{x+1}))^3 - 1 = \sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

Ответ: $f(g(q(x))) = \sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

6) g(q(f(x))).

Для нахождения тройной композиции $g(q(f(x)))$ нужно выполнить подстановку последовательно. Сначала найдем внутреннюю функцию $h(x) = q(f(x))$.

$h(x) = q(f(x)) = \sqrt{f(x)+1} = \sqrt{(x^3 - 1)+1} = \sqrt{x^3}$.

Теперь подставим полученный результат $h(x)$ в функцию $g(x)$:

$g(q(f(x))) = g(h(x)) = \sin(h(x)) = \sin(\sqrt{x^3})$.

Ответ: $g(q(f(x))) = \sin(\sqrt{x^3})$.