Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Решите неравенство:

1) $ \cos \left(x + \frac{\pi}{5}\right) > \frac{1}{2}; $

2) $ \sin \left(-x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \operatorname{tg} \left(0.5 - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3}; $

4) $ \cos^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0; $

5) $ \cos \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) > 0.5; $

6) $ \operatorname{ctg} \left(2.5x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{\sqrt{3}}. $

1) Решим неравенство $ \cos(x + \frac{\pi}{5}) > \frac{1}{2} $.

Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \cos(t) > \frac{1}{2} $.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал $ -\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k < t < \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $, получаем $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $.

Вернемся к исходной переменной $ x $: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $.

Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей неравенства: $ -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k $.

Приведем дроби к общему знаменателю 15: $ -\frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} + 2\pi k $.

Упростим: $ -\frac{8\pi}{15} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{15} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in (-\frac{8\pi}{15} + 2\pi k; \frac{2\pi}{15} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin(-x + \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $: $ \sin(-(x - \frac{\pi}{6})) = -\sin(x - \frac{\pi}{6}) $.

Неравенство принимает вид $ -\sin(x - \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $ \sin(x - \frac{\pi}{6}) > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сделаем замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k < t < \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $, получаем $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k $, что равносильно $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $.

Вернемся к переменной $ x $: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $.

Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям: $ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $ -\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{15\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi k $.

Упростим: $ -\frac{\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{17\pi}{12} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{12} + 2\pi k; \frac{17\pi}{12} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \text{tg}(0,5x - \frac{\pi}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Запишем 0,5 как $ \frac{1}{2} $: $ \text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \text{tg}(t) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} $, получаем $ \frac{\pi}{6} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Вернемся к переменной $ x $: $ \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям: $ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k $.

Упростим суммы: $ \frac{\pi+2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi+2\pi}{6} + \pi k $, что равносильно $ \frac{3\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $, или $ \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $.

Умножим все части на 2: $ \pi + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in (\pi + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos^2(x + \frac{\pi}{4}) - \sin^2(x + \frac{\pi}{4}) < 0 $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.

Пусть $ \alpha = x + \frac{\pi}{4} $, тогда неравенство примет вид $ \cos(2(x + \frac{\pi}{4})) < 0 $.

Упростим аргумент косинуса: $ \cos(2x + \frac{\pi}{2}) < 0 $.

Используем формулу приведения $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) $. Неравенство станет $ -\sin(2x) < 0 $.

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \sin(2x) > 0 $.

Сделаем замену $ t = 2x $. Получаем $ \sin(t) > 0 $.

Решением этого неравенства является интервал $ 2\pi k < t < \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вернемся к переменной $ x $: $ 2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k $.

Разделим все части на 2: $ \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Ответ: $ x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos(3x - \frac{\pi}{3})\sin(3x - \frac{\pi}{3}) > 0,5 $.

Запишем 0,5 как $ \frac{1}{2} $: $ \sin(3x - \frac{\pi}{3})\cos(3x - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $. Отсюда $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

Пусть $ \alpha = 3x - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \frac{1}{2}\sin(2(3x - \frac{\pi}{3})) > \frac{1}{2} $.

Упростим аргумент: $ \frac{1}{2}\sin(6x - \frac{2\pi}{3}) > \frac{1}{2} $.

Умножим обе части на 2: $ \sin(6x - \frac{2\pi}{3}) > 1 $.

Так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, то есть $ \sin(\alpha) \le 1 $ для любого $ \alpha $, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $ x \in \varnothing $.

6) Решим неравенство $ \text{ctg}(2,5x + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Запишем 2,5 как $ \frac{5}{2} $ и $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ как $ \frac{\sqrt{3}}{3} $: $ \text{ctg}(\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Сделаем замену $ t = \frac{5x}{2} + \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg}(t) < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k < t < \pi + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3} $, получаем $ \frac{\pi}{3} + \pi k < t < \pi + \pi k $.

Вернемся к переменной $ x $: $ \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{5x}{2} + \frac{\pi}{6} < \pi + \pi k $.

Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей: $ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{5x}{2} < \pi - \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Упростим разности: $ \frac{2\pi-\pi}{6} + \pi k < \frac{5x}{2} < \frac{6\pi-\pi}{6} + \pi k $, что равносильно $ \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{5x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $.

Умножим все части на $ \frac{2}{5} $: $ \frac{2}{5}(\frac{\pi}{6} + \pi k) < x < \frac{2}{5}(\frac{5\pi}{6} + \pi k) $.

Раскроем скобки: $ \frac{2\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{10\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} $.

Сократим дроби: $ \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5}), k \in \mathbb{Z} $.