Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Постройте график функции:

1) $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$;

2) $y = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \cos^2x + \sin^2x + 1$;

4) $y = 2\operatorname{tg}\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

2. Постройте графи функции:

1) Для построения графика функции $y = 1 - \cos(\frac{x}{2})$ выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика $y = \cos(x)$.

1. Строим график функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график $y = \cos(\frac{x}{2})$. Это растяжение графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Далее строим $y = -\cos(\frac{x}{2})$. Это симметричное отражение предыдущего графика относительно оси Ox.

4. Наконец, строим $y = 1 - \cos(\frac{x}{2})$. Это сдвиг последнего графика вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.

Найдем ключевые точки для одного периода $[0, 4\pi]$:

• При $x=0$, $y = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$. Точка $(0, 0)$.

• При $x=\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$. Точка $(\pi, 1)$.

• При $x=2\pi$, $y = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. Это точка максимума. Точка $(2\pi, 2)$.

• При $x=3\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$. Точка $(3\pi, 1)$.

• При $x=4\pi$, $y = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. Точка $(4\pi, 0)$.

Область значений функции: $y \in [0, 2]$.

Ответ: График функции — косинусоида, отраженная относительно оси абсцисс, растянутая в 2 раза вдоль оси абсцисс (период $4\pi$) и смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. График колеблется в диапазоне $[0, 2]$, касаясь оси Ox в точках $x = 4k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Построение графика функции $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$ выполняется преобразованиями графика $y = \sin(x)$.

1. Строим график $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график $y = 3\sin(x)$. Это растяжение графика вдоль оси Oy в 3 раза. Амплитуда становится равной 3, а область значений — $[-3, 3]$.

3. Сдвигаем полученный график $y = 3\sin(x)$ вправо на $\frac{\pi}{4}$ вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Это называется фазовым сдвигом.

Период функции остается $T = 2\pi$. Найдем ключевые точки для одного периода, который теперь начинается в $x = \frac{\pi}{4}$ и заканчивается в $x = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$.

• Начало периода (пересечение с центральной линией $y=0$ и идет вверх): $x - \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

• Максимум: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4}$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 3)$.

• Пересечение с центральной линией (идет вниз): $x - \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{4}$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.

• Минимум: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{4}$. Точка $(\frac{7\pi}{4}, -3)$.

• Конец периода: $x - \frac{\pi}{4} = 2\pi \Rightarrow x = \frac{9\pi}{4}$. Точка $(\frac{9\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции — синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 3 (область значений $[-3, 3]$) и сдвинутая по оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{4}$.

3) Для построения графика этой функции сначала упростим ее выражение. Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$y = (\cos^2 x + \sin^2 x) + 1 = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, функция имеет вид $y = 2$ для всех действительных значений $x$.

Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси Oy.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y = 2$.

4) Построение графика функции $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$ выполняется преобразованиями графика $y = \tan(x)$.

1. Запишем функцию в виде $y = 2\tan(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$, чтобы явно видеть все преобразования.

2. Начнем с $y = \tan(x)$. Период $\pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

3. $y = \tan(2x)$: сжатие по оси Ox в 2 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{2}$. Асимптоты: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

4. $y = \tan(2(x + \frac{\pi}{8}))$: сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{8}$. Асимптоты смещаются: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

5. $y = 2\tan(2(x + \frac{\pi}{8}))$: растяжение в 2 раза вдоль оси Oy. График становится "круче".

6. $y = 2\tan(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$: сдвиг вниз по оси Oy на 2 единицы.

Сведем воедино свойства итогового графика:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.

• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число.

• Точки перегиба (центры симметрии для каждой ветви): до сдвига вниз они были на оси Ox. Теперь они находятся на прямой $y=-2$. Найдем их абсциссы: $2x + \frac{\pi}{4} = n\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$. Точки перегиба: $(-\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}, -2)$.

• Для построения одной ветви, например, на интервале $(-\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8})$, используем точку перегиба $(-\frac{\pi}{8}, -2)$ и еще пару точек. Например, при $x=0$, $y = 2\tan(\frac{\pi}{4}) - 2 = 2(1)-2=0$. Точка $(0,0)$.

Ответ: График функции — тангенсоида с периодом $T = \frac{\pi}{2}$, растянутая в 2 раза по вертикали, сдвинутая влево на $\frac{\pi}{8}$ и вниз на 2. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.