Номер 8, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Если $f(x) = x^3 - 1$, $g(x) = \sin x$ и $q(x) = \sqrt{x+1}$, то составьте следующие сложные функции:

1) $f(g(x));$

2) $f(q(x));$

3) $q(g(x));$

4) $g(f(x));$

5) $f(g(q(x)));$

6) $g(q(f(x)))$.

1) f(g(x));

Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^3 - 1$ и $g(x) = \sin x$.

Выполняем подстановку $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = (g(x))^3 - 1 = (\sin x)^3 - 1 = \sin^3 x - 1$.

Ответ: $f(g(x)) = \sin^3 x - 1$.

2) f(q(x));

Для нахождения сложной функции $f(q(x))$ необходимо подставить функцию $q(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^3 - 1$ и $q(x) = \sqrt{x+1}$.

Выполняем подстановку $q(x)$ в $f(x)$:

$f(q(x)) = (q(x))^3 - 1 = (\sqrt{x+1})^3 - 1$.

Это выражение также можно записать как $(x+1)\sqrt{x+1} - 1$ или $(x+1)^{3/2} - 1$.

Ответ: $f(q(x)) = (\sqrt{x+1})^3 - 1$.

3) q(g(x));

Для нахождения сложной функции $q(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $q(x)$.

Даны функции: $q(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = \sin x$.

Выполняем подстановку $g(x)$ в $q(x)$:

$q(g(x)) = \sqrt{g(x)+1} = \sqrt{\sin x + 1}$.

Ответ: $q(g(x)) = \sqrt{\sin x + 1}$.

4) g(f(x));

Для нахождения сложной функции $g(f(x))$ необходимо подставить функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$.

Даны функции: $g(x) = \sin x$ и $f(x) = x^3 - 1$.

Выполняем подстановку $f(x)$ в $g(x)$:

$g(f(x)) = \sin(f(x)) = \sin(x^3 - 1)$.

Ответ: $g(f(x)) = \sin(x^3 - 1)$.

5) f(g(q(x)));

Для нахождения тройной композиции $f(g(q(x)))$ нужно выполнить подстановку последовательно. Сначала найдем внутреннюю функцию $h(x) = g(q(x))$.

$h(x) = g(q(x)) = \sin(q(x)) = \sin(\sqrt{x+1})$.

Теперь подставим полученный результат $h(x)$ в функцию $f(x)$:

$f(g(q(x))) = f(h(x)) = (h(x))^3 - 1 = (\sin(\sqrt{x+1}))^3 - 1 = \sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

Ответ: $f(g(q(x))) = \sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

6) g(q(f(x))).

Для нахождения тройной композиции $g(q(f(x)))$ нужно выполнить подстановку последовательно. Сначала найдем внутреннюю функцию $h(x) = q(f(x))$.

$h(x) = q(f(x)) = \sqrt{f(x)+1} = \sqrt{(x^3 - 1)+1} = \sqrt{x^3}$.

Теперь подставим полученный результат $h(x)$ в функцию $g(x)$:

$g(q(f(x))) = g(h(x)) = \sin(h(x)) = \sin(\sqrt{x^3})$.

Ответ: $g(q(f(x))) = \sin(\sqrt{x^3})$.