Номер 14, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. Найдите промежутки убывания и возрастания, точки максимума и точки минимума функции:

1) $y = 0.25x^4 - 0.25x + 9$;

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11$.

1) $y = 0,25x^4 - 0,25x + 9$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, мы будем использовать производную функции.

1. Найдём область определения функции. Так как функция является многочленом, её область определения – все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции $y'$:

$y' = (0,25x^4 - 0,25x + 9)' = 0,25 \cdot 4x^3 - 0,25 \cdot 1 + 0 = x^3 - 0,25$.

3. Найдём критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$y' = 0$

$x^3 - 0,25 = 0$

$x^3 = 0,25$

$x = \sqrt[3]{0,25} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$.

Мы получили одну критическую точку, которая делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; \sqrt[3]{1/4})$ и $(\sqrt[3]{1/4}; +\infty)$.

4. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

- На промежутке $(-\infty; \sqrt[3]{1/4})$ возьмем тестовую точку, например, $x=0$.

$y'(0) = 0^3 - 0,25 = -0,25 < 0$.

Так как производная отрицательна, функция на этом промежутке убывает.

- На промежутке $(\sqrt[3]{1/4}; +\infty)$ возьмем тестовую точку, например, $x=1$.

$y'(1) = 1^3 - 0,25 = 0,75 > 0$.

Так как производная положительна, функция на этом промежутке возрастает.

5. Определим точки экстремума.

- В точке $x = \sqrt[3]{1/4}$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, это точка минимума.

$x_{min} = \sqrt[3]{1/4}$.

- Точек максимума у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \sqrt[3]{1/4}]$, возрастает на промежутке $[\sqrt[3]{1/4}; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = \sqrt[3]{1/4}$; точек максимума нет.

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Найдём производную функции $y'$:

$y' = (5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11)' = 5 \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = 20x^3 - x^2$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$20x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(20x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$20x - 1 = 0 \implies 20x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{20} = 0,05$.

Критические точки $x=0$ и $x=1/20$ разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 1/20)$ и $(1/20; +\infty)$.

4. Определим знак производной на каждом из этих промежутков. Знак производной $y' = x^2(20x-1)$ зависит от знака выражения $(20x-1)$, так как $x^2 \ge 0$ при всех $x$.

- На промежутке $(-\infty; 0)$ возьмем тестовую точку, например, $x=-1$.

$y'(-1) = (-1)^2(20(-1) - 1) = 1 \cdot (-21) = -21 < 0$. Функция убывает.

- На промежутке $(0; 1/20)$ возьмем тестовую точку, например, $x=0,01$.

$y'(0,01) = (0,01)^2(20(0,01) - 1) = 0,0001 \cdot (0,2 - 1) = 0,0001 \cdot (-0,8) < 0$. Функция убывает.

- На промежутке $(1/20; +\infty)$ возьмем тестовую точку, например, $x=1$.

$y'(1) = 1^2(20 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot 19 = 19 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

- В точке $x = 0$ производная не меняет свой знак (она отрицательна слева и справа от точки). Следовательно, $x=0$ не является точкой экстремума.

- В точке $x = 1/20$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, это точка минимума.

$x_{min} = \frac{1}{20}$.

- Точек максимума у функции нет.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 1/20)$, мы можем объединить их в один промежуток убывания.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1/20]$, возрастает на промежутке $[1/20; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1/20$; точек максимума нет.