Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. 1) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + x$ в точке с абсциссой $x = 2$.

2) На кривой $y = 3x^3 - 2$ найдите точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

3) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 4$.

1)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = x^3 + x$, а абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

2. Найдем производную функции:$f'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=10$ и $f'(x_0)=13$ в общее уравнение касательной:$y = 10 + 13(x - 2)$.

5. Упростим полученное уравнение:$y = 10 + 13x - 26$

$y = 13x - 16$.

Ответ: $y = 13x - 16$.

2)

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (оси Ox) в той точке, где ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке.

Дана функция $y = 3x^3 - 2$.

1. Найдем производную функции:$y' = (3x^3 - 2)' = 3 \cdot 3x^2 - 0 = 9x^2$.

2. Чтобы найти абсциссу искомой точки, приравняем производную к нулю:$y' = 0 \implies 9x^2 = 0 \implies x = 0$.

3. Найдем ординату этой точки, подставив значение $x=0$ в исходное уравнение кривой:$y = 3 \cdot 0^3 - 2 = 0 - 2 = -2$.

Таким образом, касательная параллельна оси абсцисс в точке с координатами $(0, -2)$.

Ответ: $(0, -2)$.

3)

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. В задаче не указана конкретная точка, поэтому мы найдем общее выражение для тангенса угла наклона в произвольной точке $x$.

Дана функция $y = x^2 - 5x + 4$.

1. Найдем производную этой функции:$y' = (x^2 - 5x + 4)' = 2x - 5$.

Это выражение и есть тангенс угла наклона касательной в любой точке графика с абсциссой $x$.

Ответ: $2x - 5$.