Номер 18, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18. Постройте график функции в программе "Живая геометрия" или "GeoGebra":

1) $y = \frac{1+x}{x}$;

2) $y = \frac{x}{1+x}$;

3) $y = 5 - 2\sqrt{x+1}$;

4) $y = 3 + 2\sqrt{x-1}$.

Используя график, перечислите свойства функции.

1) $y = \frac{1+x}{x}$

Для построения графика преобразуем функцию: $y = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1$. Это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. График состоит из двух ветвей, которые приближаются к асимптотам.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $1+x=0$, то есть при $x=-1$. Точка пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$. С осью Oy пересечения нет.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$; $y < 0$ на $(-1; 0)$.

5. Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=1$.

7. Четность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; нуль функции $x=-1$; убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; асимптоты $x=0$ и $y=1$.

2) $y = \frac{x}{1+x^2}$

График этой функции симметричен относительно начала координат, так как функция является нечетной ($y(-x) = -y(x)$). Он имеет "волнообразную" форму, прижимаясь к оси Ox при $x \to \pm\infty$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-0.5; 0.5]$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$; $y<0$ при $x<0$.

5. Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-1; 1)$; убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка минимума $(-1; -0.5)$, точка максимума $(1; 0.5)$.

7. Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=0$.

8. Четность: функция нечетная.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-0.5; 0.5]$; нечетная; возрастает на $(-1; 1)$, убывает на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$; минимум в точке $(-1; -0.5)$, максимум в точке $(1; 0.5)$; горизонтальная асимптота $y=0$.

3) $y = 5 - 2\sqrt{x+1}$

График этой функции — ветвь параболы. Его можно получить из графика функции $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями: сдвиг на 1 единицу влево, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy, отражение относительно оси Ox и сдвиг на 5 единиц вверх. Начальная точка графика — $(-1; 5)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-1; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 5]$.

3. Нули функции: $y=0$ при $5 - 2\sqrt{x+1} = 0$, то есть при $x=5.25$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на $[-1; 5.25)$; $y<0$ на $(5.25; +\infty)$.

5. Монотонность: функция убывает на всей области определения $[-1; +\infty)$.

6. Асимптот нет.

7. Четность: функция общего вида.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = [-1; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 5]$; нуль функции $x=5.25$; убывает на $[-1; +\infty)$; начальная точка графика $(-1; 5)$.

4) $y = 3 + 2\sqrt{x-1}$

График этой функции — ветвь параболы. Его можно получить из графика функции $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями: сдвиг на 1 единицу вправо, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy и сдвиг на 3 единицы вверх. Начальная точка графика — $(1; 3)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [1; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [3; +\infty)$.

3. Нули функции: нет, так как $y \ge 3$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на всей области определения.

5. Монотонность: функция возрастает на всей области определения $[1; +\infty)$.

6. Асимптот нет.

7. Четность: функция общего вида.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(y) = [1; +\infty)$; область значений $E(y) = [3; +\infty)$; нулей нет, функция всегда положительна; возрастает на $[1; +\infty)$; начальная точка графика $(1; 3)$.