Номер 15, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15. Найдите промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции:

1) $y = 5x^2 + 3x - 2;$

2) $y = 4x^3 - 3x + 1;$

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2};$

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}.$

1) $y = 5x^2 + 3x - 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (5x^2 + 3x - 2)' = 10x + 3$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$10x + 3 = 0$

$10x = -3$

$x = -0.3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит числовую ось: $(-\infty; -0.3)$ и $(-0.3; +\infty)$.

При $x < -0.3$ (например, $x = -1$), $y'(-1) = 10(-1) + 3 = -7 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -0.3]$.

При $x > -0.3$ (например, $x = 0$), $y'(0) = 10(0) + 3 = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-0.3; +\infty)$.

5. В точке $x = -0.3$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(-0.3) = 5(-0.3)^2 + 3(-0.3) - 2 = 5(0.09) - 0.9 - 2 = 0.45 - 0.9 - 2 = -2.45$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.3; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -0.3]$. Точка минимума $x_{min} = -0.3$, минимум функции $y_{min} = -2.45$.

2) $y = 4x^3 - 3x + 1$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (4x^3 - 3x + 1)' = 12x^2 - 3$.

3. Находим критические точки:

$12x^2 - 3 = 0$

$12x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$x_1 = -0.5$, $x_2 = 0.5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; -0.5)$ (например, $x = -1$), $y'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (-0.5; 0.5)$ (например, $x = 0$), $y'(0) = 12(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0.5; +\infty)$ (например, $x = 1$), $y'(1) = 12(1)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. В точке $x = 0.5$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 3(-0.5) + 1 = 4(-0.125) + 1.5 + 1 = -0.5 + 1.5 + 1 = 2$.

$y_{min} = y(0.5) = 4(0.5)^3 - 3(0.5) + 1 = 4(0.125) - 1.5 + 1 = 0.5 - 1.5 + 1 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -0.5]$ и $[0.5; +\infty)$, убывает на промежутке $[-0.5; 0.5]$. Точка максимума $x_{max} = -0.5$, максимум функции $y_{max} = 2$. Точка минимума $x_{min} = 0.5$, минимум функции $y_{min} = 0$.

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2}$

1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 2$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования дроби:

$y' = \left(\frac{1}{x^2 + 2}\right)' = \frac{1' \cdot (x^2+2) - 1 \cdot (x^2+2)'}{(x^2+2)^2} = \frac{0 \cdot (x^2+2) - 2x}{(x^2+2)^2} = -\frac{2x}{(x^2+2)^2}$.

3. Находим критические точки:

$-\frac{2x}{(x^2+2)^2} = 0$

$-2x = 0$

$x = 0$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2+2)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя $-2x$.

При $x < 0$, $-2x > 0$, значит $y' > 0$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

При $x > 0$, $-2x < 0$, значит $y' < 0$. Функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $y_{max} = \frac{1}{2}$.

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 + x \neq 0$

$x(x+1) \neq 0$

$x \neq 0$ и $x \neq -1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = \left(\frac{3}{x^2 + x}\right)' = \frac{3' \cdot (x^2+x) - 3 \cdot (x^2+x)'}{(x^2+x)^2} = \frac{0 - 3(2x+1)}{(x^2+x)^2} = -\frac{3(2x+1)}{(x^2+x)^2}$.

3. Находим критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:

$-3(2x+1) = 0$

$2x+1 = 0$

$x = -0.5$.

Эта точка входит в область определения функции. Производная не определена в точках $x=0$ и $x=-1$, но они не являются критическими, так как не принадлежат области определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения делят точки $x=-1$, $x=-0.5$, $x=0$. Знаменатель $(x^2+x)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной определяется знаком числителя $-3(2x+1)$.

При $x < -0.5$ (и $x \neq -1$), $2x+1 < 0$, поэтому $-3(2x+1) > 0$. Значит $y' > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -1)$ и на $(-1; -0.5]$.

При $x > -0.5$ (и $x \neq 0$), $2x+1 > 0$, поэтому $-3(2x+1) < 0$. Значит $y' < 0$. Функция убывает на $[-0.5; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

5. В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(-0.5) = \frac{3}{(-0.5)^2 + (-0.5)} = \frac{3}{0.25 - 0.5} = \frac{3}{-0.25} = -12$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; -0.5]$, убывает на промежутках $[-0.5; 0)$ и $(0; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -0.5$, максимум функции $y_{max} = -12$.