Страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 10 - 10x^7 + 2,5x^{10}$;

2) $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$;

3) $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$;

4) $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$;

5) $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$;

6) $f(x) = \sin(4 - 3x)\operatorname{tg}(4 - 3x)$;

7) $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$;

8) $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$.

1) Для функции $f(x) = 10 - 10x^7 + 2,5x^{10}$ применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.

$f'(x) = (10)' - (10x^7)' + (2,5x^{10})' = 0 - 10 \cdot 7x^{7-1} + 2,5 \cdot 10x^{10-1} = -70x^6 + 25x^9$.

Ответ: $f'(x) = 25x^9 - 70x^6$.

2) Для функции $f(x) = \frac{3x + 5}{4 - x}$ применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = 3x + 5$ и $v = 4 - x$. Тогда $u' = 3$ и $v' = -1$.

$f'(x) = \frac{(3x+5)'(4-x) - (3x+5)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{3(4-x) - (3x+5)(-1)}{(4-x)^2} = \frac{12 - 3x + 3x + 5}{(4-x)^2} = \frac{17}{(4-x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{17}{(4 - x)^2}$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{11x - x^2}$ применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и формулу для производной квадратного корня $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Пусть $u = 11x - x^2$, тогда $u' = 11 - 2x$.

$f'(x) = (\sqrt{11x - x^2})' = \frac{(11x - x^2)'}{2\sqrt{11x - x^2}} = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{11x - x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{11x - x^2}}$.

4) Для функции $f(x) = (2x - x^3)\sqrt{2 - x^2}$ применяем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = 2x - x^3$ и $v = \sqrt{2 - x^2}$.

$u' = 2 - 3x^2$.

$v' = (\sqrt{2 - x^2})' = \frac{(2 - x^2)'}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-2x}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}$.

$f'(x) = (2 - 3x^2)\sqrt{2 - x^2} + (2x - x^3)\left(\frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}\right) = \frac{(2 - 3x^2)(2 - x^2) - x(2x - x^3)}{\sqrt{2 - x^2}}$.

$f'(x) = \frac{4 - 2x^2 - 6x^2 + 3x^4 - 2x^2 + x^4}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4x^4 - 10x^2 + 4}{\sqrt{2 - x^2}}$.

5) Для функции $f(x) = 6\cos^3(4 - 3x)$ применяем цепное правило для сложной функции $y=6u^3$, где $u = \cos(v)$, а $v = 4-3x$.

$f'(x) = (6(\cos(4 - 3x))^3)' = 6 \cdot 3\cos^2(4 - 3x) \cdot (\cos(4 - 3x))' = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4-3x)) \cdot (4-3x)'$.

$f'(x) = 18\cos^2(4 - 3x) \cdot (-\sin(4-3x)) \cdot (-3) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$.

Ответ: $f'(x) = 54\cos^2(4 - 3x)\sin(4 - 3x)$.

6) Для функции $f(x) = \sin(4 - 3x)\tg(4 - 3x)$ применяем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \sin(4-3x)$ и $v = \tg(4-3x)$.

$u' = \cos(4-3x) \cdot (-3) = -3\cos(4-3x)$.

$v' = \frac{1}{\cos^2(4-3x)} \cdot (-3) = \frac{-3}{\cos^2(4-3x)}$.

$f'(x) = (-3\cos(4-3x))\tg(4-3x) + \sin(4-3x)\left(\frac{-3}{\cos^2(4-3x)}\right)$.

Учитывая, что $\tg(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$, получаем:

$f'(x) = -3\cos(4-3x)\frac{\sin(4-3x)}{\cos(4-3x)} - \frac{3\sin(4-3x)}{\cos^2(4-3x)} = -3\sin(4-3x) - \frac{3\sin(4-3x)}{\cos^2(4-3x)}$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$f'(x) = -3\sin(4-3x)\left(1 + \frac{1}{\cos^2(4-3x)}\right)$.

Ответ: $f'(x) = -3\sin(4 - 3x)\left(1 + \frac{1}{\cos^2(4 - 3x)}\right)$.

7) Для функции $f(x) = \frac{\sin 5x}{1 + 3x}$ применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = \sin 5x$ и $v = 1 + 3x$. Тогда $u' = 5\cos 5x$ и $v' = 3$.

$f'(x) = \frac{(5\cos 5x)(1 + 3x) - (\sin 5x)(3)}{(1 + 3x)^2} = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5\cos 5x + 15x\cos 5x - 3\sin 5x}{(1 + 3x)^2}$.

8) Для функции $f(x) = \frac{2 - 5x}{\cos 10x}$ применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = 2 - 5x$ и $v = \cos 10x$. Тогда $u' = -5$ и $v' = -\sin 10x \cdot 10 = -10\sin 10x$.

$f'(x) = \frac{(-5)(\cos 10x) - (2 - 5x)(-10\sin 10x)}{(\cos 10x)^2} = \frac{-5\cos 10x + 10(2 - 5x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.

$f'(x) = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{-5\cos 10x + (20 - 50x)\sin 10x}{\cos^2 10x}$.

10. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке:

1) $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{3}{x - 1}, x_0 = 3;$

3) $f(x) = \cos^2 3x + \operatorname{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{6};$

4) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}, x_0 = 2\sqrt{2}.$

1) Дана функция $f(x) = 4x^3 - x^4 + 10$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.

$f'(x) = (4x^3 - x^4 + 10)' = (4x^3)' - (x^4)' + (10)' = 4 \cdot 3x^{3-1} - 4x^{4-1} + 0 = 12x^2 - 4x^3$.

Теперь подставим значение точки $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1)^3 = 12(1) - 4(-1) = 12 + 4 = 16$.

Ответ: $16$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x-1}$ и точка $x_0 = 3$.

Найдем производную функции. Можно использовать правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представить функцию в виде $f(x) = 3(x-1)^{-1}$ и использовать правило для степенной функции и цепное правило.

Используя правило для частного, где $u=3$ и $v=x-1$, получаем $u'=0$ и $v'=1$.

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

Теперь подставим значение точки $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$f'(3) = -\frac{3}{(3-1)^2} = -\frac{3}{2^2} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = \cos^2(3x) + \tg(x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдем производную функции. Это сумма двух функций, поэтому найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Для первого слагаемого $y_1 = \cos^2(3x)$ используем цепное правило. Пусть $u = \cos(3x)$, тогда $y_1 = u^2$. Производная $(u^2)' = 2u \cdot u'$. Производная $u' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Тогда $(\cos^2(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (-3\sin(3x)) = -6\sin(3x)\cos(3x)$. Можно упростить, используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$: $-3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(6x)$.

Для второго слагаемого $y_2 = \tg(x)$ производная известна: $(\tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Таким образом, производная исходной функции: $f'(x) = -3\sin(6x) + \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{6})} = -3\sin(\pi) + \frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -3 \cdot 0 + \frac{1}{\frac{3}{4}} = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{5x^2 - 4}$ и точка $x_0 = 2\sqrt{2}$.

Найдем производную функции, используя цепное правило для функции вида $\sqrt{u}$, производная которой равна $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Здесь $u = 5x^2 - 4$, тогда $u' = (5x^2 - 4)' = 10x$.

$f'(x) = (\sqrt{5x^2 - 4})' = \frac{10x}{2\sqrt{5x^2 - 4}} = \frac{5x}{\sqrt{5x^2 - 4}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 2\sqrt{2}$ в выражение для производной. Для удобства сначала вычислим $x_0^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

$f'(2\sqrt{2}) = \frac{5 \cdot (2\sqrt{2})}{\sqrt{5 \cdot (2\sqrt{2})^2 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5 \cdot 8 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{40 - 4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{36}} = \frac{10\sqrt{2}}{6}$.

Сократим дробь: $\frac{10\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$.

11. 1) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + x$ в точке с абсциссой $x = 2$.

2) На кривой $y = 3x^3 - 2$ найдите точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

3) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 4$.

1)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = x^3 + x$, а абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

2. Найдем производную функции:$f'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=10$ и $f'(x_0)=13$ в общее уравнение касательной:$y = 10 + 13(x - 2)$.

5. Упростим полученное уравнение:$y = 10 + 13x - 26$

$y = 13x - 16$.

Ответ: $y = 13x - 16$.

2)

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (оси Ox) в той точке, где ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке.

Дана функция $y = 3x^3 - 2$.

1. Найдем производную функции:$y' = (3x^3 - 2)' = 3 \cdot 3x^2 - 0 = 9x^2$.

2. Чтобы найти абсциссу искомой точки, приравняем производную к нулю:$y' = 0 \implies 9x^2 = 0 \implies x = 0$.

3. Найдем ординату этой точки, подставив значение $x=0$ в исходное уравнение кривой:$y = 3 \cdot 0^3 - 2 = 0 - 2 = -2$.

Таким образом, касательная параллельна оси абсцисс в точке с координатами $(0, -2)$.

Ответ: $(0, -2)$.

3)

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. В задаче не указана конкретная точка, поэтому мы найдем общее выражение для тангенса угла наклона в произвольной точке $x$.

Дана функция $y = x^2 - 5x + 4$.

1. Найдем производную этой функции:$y' = (x^2 - 5x + 4)' = 2x - 5$.

Это выражение и есть тангенс угла наклона касательной в любой точке графика с абсциссой $x$.

Ответ: $2x - 5$.

12. 1) Решите уравнение $f(x) + f'(x) = 0$, если $f(x) = x^2 + 3x - 36$;

2) решите неравенство $f'(x) - f(x) < 0$, если $f(x) = -x^2 - 6x + 6$.

1)

Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 36$.

Сначала найдем производную этой функции:

$f'(x) = (x^2 + 3x - 36)' = (x^2)' + (3x)' - (36)' = 2x + 3$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в уравнение $f(x) + f'(x) = 0$:

$(x^2 + 3x - 36) + (2x + 3) = 0$.

Упростим полученное уравнение, приведя подобные слагаемые:

$x^2 + (3x + 2x) + (-36 + 3) = 0$

$x^2 + 5x - 33 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 25 + 132 = 157$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{157}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{157}}{2}$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{157}}{2}$.

2)

Дана функция $f(x) = -x^2 - 6x + 6$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = (-x^2 - 6x + 6)' = (-x^2)' - (6x)' + (6)' = -2x - 6$.

Теперь подставим $f(x)$ и $f'(x)$ в неравенство $f(x) - f'(x) < 0$:

$(-x^2 - 6x + 6) - (-2x - 6) < 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x^2 - 6x + 6 + 2x + 6 < 0$

$-x^2 - 4x + 12 < 0$.

Чтобы удобнее было решать, умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + 4x - 12 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. Это можно сделать по теореме Виета или через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней равна -4, а их произведение равно -12. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля ($y > 0$) на интервалах, находящихся за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 4x - 12 > 0$ это $x < -6$ или $x > 2$.

В виде интервалов решение записывается как $(-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

13. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $f(x) = \frac{x}{x - 1}$;

2) $f(x) = \frac{x^2}{x + 3}$;

3) $f(x) = \frac{2x}{16 - x^2}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$;

5) $f(x) = \sqrt{x} \cdot (x + 4)$;

6) $f(x) = \sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$.

1) $f(x) = \frac{x}{x - 1}$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо исследовать знак ее производной.Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x - 1 \ne 0$, откуда $x \ne 1$.Область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$f'(x) = \frac{(x)'(x-1) - x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{1}{(x-1)^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен -1.Производная не существует в точке $x = 1$, но эта точка не входит в область определения функции.

Определим знак производной на интервалах области определения.$f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}$. Так как знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \ne 1$, а числитель -1 отрицателен, то $f'(x) < 0$ на всей области определения.Следовательно, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{x^2}{x + 3}$

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$.$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Находим производную функции:$f'(x) = \frac{(x^2)'(x+3) - x^2(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{2x(x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2} = \frac{x(x+6)}{(x+3)^2}$.

Находим критические точки.Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x(x+6)}{(x+3)^2} = 0$. Отсюда $x(x+6) = 0$, что дает $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.Производная не существует при $x = -3$, но эта точка не входит в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками и точкой разрыва: $(-\infty; -6)$, $(-6; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$.Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(x+6)$, так как знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен.- на $(-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(-6; -3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.- на $(-3; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.- на $(0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.Поскольку функция непрерывна в точках $x=-6$ и $x=0$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутках $[-6; -3)$ и $(-3; 0]$.

3) $f(x) = \frac{2x}{16 - x^2}$

Область определения: $16 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne \pm 4$.$D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

Находим производную функции:$f'(x) = \frac{(2x)'(16-x^2) - 2x(16-x^2)'}{(16-x^2)^2} = \frac{2(16-x^2) - 2x(-2x)}{(16-x^2)^2} = \frac{32 - 2x^2 + 4x^2}{(16-x^2)^2} = \frac{32 + 2x^2}{(16-x^2)^2} = \frac{2(16+x^2)}{(16-x^2)^2}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2(16+x^2) = 0$. Уравнение не имеет действительных решений, так как $16+x^2$ всегда больше нуля.Производная не существует в точках $x = \pm 4$, которые являются точками разрыва.

Определим знак производной. Числитель $2(16+x^2)$ всегда положителен. Знаменатель $(16-x^2)^2$ также положителен для всех $x$ из области определения.Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9}$

Область определения: $x^2 - 9 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 9 \Rightarrow x \ne \pm 3$.$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Находим производную:$f'(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2-9) - (x^2-1)(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{2x(x^2-9) - (x^2-1)(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 + 2x}{(x^2-9)^2} = \frac{-16x}{(x^2-9)^2}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow -16x = 0 \Rightarrow x = 0$.Точки, где производная не существует, $x = \pm 3$, не входят в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $-16x$, так как знаменатель $(x^2-9)^2$ положителен.- на $(-\infty; -3)$: $x < 0 \Rightarrow -16x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(-3; 0)$: $x < 0 \Rightarrow -16x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(0; 3)$: $x > 0 \Rightarrow -16x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.- на $(3; +\infty)$: $x > 0 \Rightarrow -16x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.В точке $x=0$ функция непрерывна, поэтому ее можно включить в промежутки.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0]$, убывает на промежутках $[0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{x} \cdot (x + 4)$

Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.$D(f) = [0; +\infty)$.

Раскроем скобки для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{1/2}(x+4) = x^{3/2} + 4x^{1/2}$.Находим производную:$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{3(\sqrt{x})^2 + 4}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x}}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x+4 = 0 \Rightarrow x = -4/3$. Эта точка не входит в область определения.Производная не существует при $x=0$ (знаменатель равен нулю), эта точка является границей области определения.

Определим знак производной на интервале $(0; +\infty)$.Для $x > 0$ числитель $3x+4$ положителен, и знаменатель $2\sqrt{x}$ также положителен.Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

6) $f(x) = \sqrt{x - 1} \cdot (5 - x)$

Область определения: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.$D(f) = [1; +\infty)$.

Находим производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$:$f'(x) = (\sqrt{x-1})'(5-x) + \sqrt{x-1}(5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}(5-x) + \sqrt{x-1}(-1) = \frac{5-x - 2(x-1)}{2\sqrt{x-1}} = \frac{5-x-2x+2}{2\sqrt{x-1}} = \frac{7-3x}{2\sqrt{x-1}}$.

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 7-3x = 0 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3$. Эта точка принадлежит области определения.Производная не существует при $x=1$, это граничная точка области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(1; 7/3)$ и $(7/3; +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $7-3x$.- на $(1; 7/3)$: $7-3x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.- на $(7/3; +\infty)$: $7-3x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.Функция непрерывна в точках $x=1$ и $x=7/3$, поэтому их можно включить в промежутки.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; 7/3]$, убывает на промежутке $[7/3; +\infty)$.

14. Найдите промежутки убывания и возрастания, точки максимума и точки минимума функции:

1) $y = 0.25x^4 - 0.25x + 9$;

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11$.

1) $y = 0,25x^4 - 0,25x + 9$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, мы будем использовать производную функции.

1. Найдём область определения функции. Так как функция является многочленом, её область определения – все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции $y'$:

$y' = (0,25x^4 - 0,25x + 9)' = 0,25 \cdot 4x^3 - 0,25 \cdot 1 + 0 = x^3 - 0,25$.

3. Найдём критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$y' = 0$

$x^3 - 0,25 = 0$

$x^3 = 0,25$

$x = \sqrt[3]{0,25} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$.

Мы получили одну критическую точку, которая делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; \sqrt[3]{1/4})$ и $(\sqrt[3]{1/4}; +\infty)$.

4. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

- На промежутке $(-\infty; \sqrt[3]{1/4})$ возьмем тестовую точку, например, $x=0$.

$y'(0) = 0^3 - 0,25 = -0,25 < 0$.

Так как производная отрицательна, функция на этом промежутке убывает.

- На промежутке $(\sqrt[3]{1/4}; +\infty)$ возьмем тестовую точку, например, $x=1$.

$y'(1) = 1^3 - 0,25 = 0,75 > 0$.

Так как производная положительна, функция на этом промежутке возрастает.

5. Определим точки экстремума.

- В точке $x = \sqrt[3]{1/4}$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, это точка минимума.

$x_{min} = \sqrt[3]{1/4}$.

- Точек максимума у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \sqrt[3]{1/4}]$, возрастает на промежутке $[\sqrt[3]{1/4}; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = \sqrt[3]{1/4}$; точек максимума нет.

2) $y = 5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Область определения функции – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Найдём производную функции $y'$:

$y' = (5x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 11)' = 5 \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = 20x^3 - x^2$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$20x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(20x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$20x - 1 = 0 \implies 20x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{20} = 0,05$.

Критические точки $x=0$ и $x=1/20$ разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 1/20)$ и $(1/20; +\infty)$.

4. Определим знак производной на каждом из этих промежутков. Знак производной $y' = x^2(20x-1)$ зависит от знака выражения $(20x-1)$, так как $x^2 \ge 0$ при всех $x$.

- На промежутке $(-\infty; 0)$ возьмем тестовую точку, например, $x=-1$.

$y'(-1) = (-1)^2(20(-1) - 1) = 1 \cdot (-21) = -21 < 0$. Функция убывает.

- На промежутке $(0; 1/20)$ возьмем тестовую точку, например, $x=0,01$.

$y'(0,01) = (0,01)^2(20(0,01) - 1) = 0,0001 \cdot (0,2 - 1) = 0,0001 \cdot (-0,8) < 0$. Функция убывает.

- На промежутке $(1/20; +\infty)$ возьмем тестовую точку, например, $x=1$.

$y'(1) = 1^2(20 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot 19 = 19 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

- В точке $x = 0$ производная не меняет свой знак (она отрицательна слева и справа от точки). Следовательно, $x=0$ не является точкой экстремума.

- В точке $x = 1/20$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, это точка минимума.

$x_{min} = \frac{1}{20}$.

- Точек максимума у функции нет.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 1/20)$, мы можем объединить их в один промежуток убывания.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1/20]$, возрастает на промежутке $[1/20; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1/20$; точек максимума нет.

15. Найдите промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции:

1) $y = 5x^2 + 3x - 2;$

2) $y = 4x^3 - 3x + 1;$

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2};$

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}.$

1) $y = 5x^2 + 3x - 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (5x^2 + 3x - 2)' = 10x + 3$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$10x + 3 = 0$

$10x = -3$

$x = -0.3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит числовую ось: $(-\infty; -0.3)$ и $(-0.3; +\infty)$.

При $x < -0.3$ (например, $x = -1$), $y'(-1) = 10(-1) + 3 = -7 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -0.3]$.

При $x > -0.3$ (например, $x = 0$), $y'(0) = 10(0) + 3 = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-0.3; +\infty)$.

5. В точке $x = -0.3$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(-0.3) = 5(-0.3)^2 + 3(-0.3) - 2 = 5(0.09) - 0.9 - 2 = 0.45 - 0.9 - 2 = -2.45$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.3; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -0.3]$. Точка минимума $x_{min} = -0.3$, минимум функции $y_{min} = -2.45$.

2) $y = 4x^3 - 3x + 1$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (4x^3 - 3x + 1)' = 12x^2 - 3$.

3. Находим критические точки:

$12x^2 - 3 = 0$

$12x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$x_1 = -0.5$, $x_2 = 0.5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; -0.5)$ (например, $x = -1$), $y'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (-0.5; 0.5)$ (например, $x = 0$), $y'(0) = 12(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0.5; +\infty)$ (например, $x = 1$), $y'(1) = 12(1)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. В точке $x = 0.5$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 3(-0.5) + 1 = 4(-0.125) + 1.5 + 1 = -0.5 + 1.5 + 1 = 2$.

$y_{min} = y(0.5) = 4(0.5)^3 - 3(0.5) + 1 = 4(0.125) - 1.5 + 1 = 0.5 - 1.5 + 1 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -0.5]$ и $[0.5; +\infty)$, убывает на промежутке $[-0.5; 0.5]$. Точка максимума $x_{max} = -0.5$, максимум функции $y_{max} = 2$. Точка минимума $x_{min} = 0.5$, минимум функции $y_{min} = 0$.

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2}$

1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 2$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования дроби:

$y' = \left(\frac{1}{x^2 + 2}\right)' = \frac{1' \cdot (x^2+2) - 1 \cdot (x^2+2)'}{(x^2+2)^2} = \frac{0 \cdot (x^2+2) - 2x}{(x^2+2)^2} = -\frac{2x}{(x^2+2)^2}$.

3. Находим критические точки:

$-\frac{2x}{(x^2+2)^2} = 0$

$-2x = 0$

$x = 0$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2+2)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя $-2x$.

При $x < 0$, $-2x > 0$, значит $y' > 0$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

При $x > 0$, $-2x < 0$, значит $y' < 0$. Функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $y_{max} = \frac{1}{2}$.

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 + x \neq 0$

$x(x+1) \neq 0$

$x \neq 0$ и $x \neq -1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = \left(\frac{3}{x^2 + x}\right)' = \frac{3' \cdot (x^2+x) - 3 \cdot (x^2+x)'}{(x^2+x)^2} = \frac{0 - 3(2x+1)}{(x^2+x)^2} = -\frac{3(2x+1)}{(x^2+x)^2}$.

3. Находим критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:

$-3(2x+1) = 0$

$2x+1 = 0$

$x = -0.5$.

Эта точка входит в область определения функции. Производная не определена в точках $x=0$ и $x=-1$, но они не являются критическими, так как не принадлежат области определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения делят точки $x=-1$, $x=-0.5$, $x=0$. Знаменатель $(x^2+x)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной определяется знаком числителя $-3(2x+1)$.

При $x < -0.5$ (и $x \neq -1$), $2x+1 < 0$, поэтому $-3(2x+1) > 0$. Значит $y' > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -1)$ и на $(-1; -0.5]$.

При $x > -0.5$ (и $x \neq 0$), $2x+1 > 0$, поэтому $-3(2x+1) < 0$. Значит $y' < 0$. Функция убывает на $[-0.5; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

5. В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(-0.5) = \frac{3}{(-0.5)^2 + (-0.5)} = \frac{3}{0.25 - 0.5} = \frac{3}{-0.25} = -12$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; -0.5]$, убывает на промежутках $[-0.5; 0)$ и $(0; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -0.5$, максимум функции $y_{max} = -12$.

16. Найдите промежутки убывания, точки максимума и точки мини-мума функции:

1) $y = (x - 5)(x + 1)^3 \cdot (x - 2)^4$;

2) $y = (x + 1,5) \cdot (x - 1,5)^2 \cdot (x - 2)^3$.

1) Для функции $y = (x - 5)(x + 1)^3(x - 2)^4$.

Чтобы найти промежутки убывания и точки экстремума, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю, найти критические точки и исследовать знак производной на интервалах, образованных этими точками.

1. Нахождение производной.

Используем правило дифференцирования произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$.

Пусть $u = x-5$, $v = (x+1)^3$, $w = (x-2)^4$.

Тогда их производные: $u' = 1$, $v' = 3(x+1)^2 \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2$, $w' = 4(x-2)^3 \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3$.

$y' = 1 \cdot (x+1)^3(x-2)^4 + (x-5) \cdot 3(x+1)^2(x-2)^4 + (x-5)(x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$.

Вынесем общие множители $(x+1)^2$ и $(x-2)^3$ за скобки:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [ (x+1)(x-2) + 3(x-5)(x-2) + 4(x-5)(x+1) ]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - x - 2) + 3(x^2 - 7x + 10) + 4(x^2 - 4x - 5) ]$

$= [ x^2 - x - 2 + 3x^2 - 21x + 30 + 4x^2 - 16x - 20 ]$

$= (1+3+4)x^2 + (-1-21-16)x + (-2+30-20)$

$= 8x^2 - 38x + 8 = 2(4x^2 - 19x + 4)$.

Таким образом, производная равна:

$y' = 2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4)$.

2. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4) = 0$.

Это уравнение дает следующие корни:

а) $(x+1)^2 = 0 \implies x_1 = -1$ (корень кратности 2).

б) $(x-2)^3 = 0 \implies x_2 = 2$ (корень кратности 3).

в) $4x^2 - 19x + 4 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 361 - 64 = 297$.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 4} = \frac{19 \pm \sqrt{9 \cdot 33}}{8} = \frac{19 \pm 3\sqrt{33}}{8}$.

$x_3 = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x_4 = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

3. Исследование знака производной.

Критические точки в порядке возрастания: $x_1=-1$, $x_3 \approx 0.22$, $x_2=2$, $x_4 \approx 4.53$.

Множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен, поэтому при переходе через точку $x=-1$ знак производной не меняется.

В точках $x_2, x_3, x_4$ (корни нечетной кратности) знак производной меняется.

Определим знаки $y'$ на интервалах методом интервалов:

- $(-\infty, -1)$: $y' < 0$ (убывает).

- $(-1, \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}, 2)$: $y' > 0$ (возрастает).

- $(2, \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}, +\infty)$: $y' > 0$ (возрастает).

4. Определение промежутков и экстремумов.

- Промежутки убывания (где $y' \le 0$): $(-\infty, \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}]$ и $[2, \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}]$.

- Точка максимума (знак $y'$ меняется с «+» на «–»): $x = 2$.

- Точки минимума (знак $y'$ меняется с «–» на «+»): $x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

В точке $x=-1$ экстремума нет (точка перегиба).

Ответ: Промежутки убывания: $(-\infty, \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}]$ и $[2, \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}]$. Точки максимума: $x = 2$. Точки минимума: $x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

2) Для функции $y = (x + 1,5)(x - 1,5)^2(x - 2)^3$.

Действуем по тому же алгоритму.

1. Нахождение производной.

$y' = ((x + 1,5)(x - 1,5)^2(x - 2)^3)'$.

Применим правило дифференцирования произведения и вынесем общие множители $(x - 1,5)$ и $(x - 2)^2$ за скобки:

$y' = (x - 1,5)(x - 2)^2 [1 \cdot (x - 1,5)(x - 2) + (x + 1,5) \cdot 2(x - 2) + (x + 1,5)(x - 1,5) \cdot 3]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - 3,5x + 3) + 2(x^2 - 0,5x - 3) + 3(x^2 - 2,25) ]$

$= [ x^2 - 3,5x + 3 + 2x^2 - x - 6 + 3x^2 - 6,75 ]$

$= 6x^2 - 4,5x - 9,75$.

Для удобства переведем в обыкновенные дроби: $6x^2 - \frac{9}{2}x - \frac{39}{4} = \frac{3}{4}(8x^2 - 6x - 13)$.

Производная имеет вид:

$y' = \frac{3}{4}(x - 1,5)(x - 2)^2(8x^2 - 6x - 13)$.

2. Нахождение критических точек.

$y' = 0$ при:

а) $x - 1,5 = 0 \implies x_1 = 1,5$ (или $3/2$).

б) $(x - 2)^2 = 0 \implies x_2 = 2$ (корень кратности 2).

в) $8x^2 - 6x - 13 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-13) = 36 + 416 = 452$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{452}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 113}}{16} = \frac{6 \pm 2\sqrt{113}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{113}}{8}$.

$x_3 = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x_4 = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

3. Исследование знака производной.

Критические точки в порядке возрастания: $x_3 \approx -0.96$, $x_1 = 1.5$, $x_4 \approx 1.7$, $x_2 = 2$.

Знак производной не меняется при переходе через $x=2$ (корень четной кратности), но меняется в точках $x_1, x_3, x_4$.

- $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{113}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{3 - \sqrt{113}}{8}, 1,5)$: $y' > 0$ (возрастает).

- $(1,5, \frac{3 + \sqrt{113}}{8})$: $y' < 0$ (убывает).

- $(\frac{3 + \sqrt{113}}{8}, 2)$: $y' > 0$ (возрастает).

- $(2, +\infty)$: $y' > 0$ (возрастает).

4. Определение промежутков и экстремумов.

- Промежутки убывания (где $y' \le 0$): $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{113}}{8}]$ и $[1,5, \frac{3 + \sqrt{113}}{8}]$.

- Точка максимума (знак $y'$ меняется с «+» на «–»): $x = 1,5$.

- Точки минимума (знак $y'$ меняется с «–» на «+»): $x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

В точке $x=2$ экстремума нет.

Ответ: Промежутки убывания: $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{113}}{8}]$ и $[1,5, \frac{3 + \sqrt{113}}{8}]$. Точки максимума: $x = 1,5$. Точки минимума: $x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.