Номер 17, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^2 - 3x;$

2) $y = x^3 + 6x;$

3) $y = \frac{1}{1-x^2};$

4) $y = -\frac{2}{1+x^2}.$

1) $y = 2x^2 - 3x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом (квадратичная функция), поэтому она определена для всех действительных чисел $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = 2(0)^2 - 3(0) = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies 2x^2 - 3x = 0 \implies x(2x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3/2 = 1.5$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = 2(-x)^2 - 3(-x) = 2x^2 + 3x$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как это многочлен степени выше первой.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (2x^2 - 3x)' = 4x - 3$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4x - 3 = 0 \implies x = 3/4 = 0.75$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 3/4$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; 3/4]$.
• При $x > 3/4$, $y' > 0$, функция возрастает на $[3/4; +\infty)$.

Точка минимума (вершина параболы): $(0.75; -1.125)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (4x - 3)' = 4$.

Поскольку $y'' = 4 > 0$ для всех $x$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $(0.75; -1.125)$. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$.

Ответ: Функция $y = 2x^2 - 3x$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Область определения - все действительные числа. Пересекает оси в точках $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$. Убывает на $(-\infty; 0.75]$ и возрастает на $[0.75; +\infty)$. Точка минимума $(0.75; -1.125)$. График вогнут на всей области определения.

2) $y = x^3 + 6x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = 0^3 + 6(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies x^3 + 6x = 0 \implies x(x^2 + 6) = 0$. Уравнение $x^2 + 6 = 0$ не имеет действительных корней, поэтому единственный корень $x = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = (-x)^3 + 6(-x) = -x^3 - 6x = -(x^3 + 6x) = -y(x)$.

Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Асимптоты.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как это многочлен.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (x^3 + 6x)' = 3x^2 + 6$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $3x^2 + 6 > 0$ для всех $x$. Производная всегда положительна.

Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (3x^2 + 6)' = 6x$.

Найдем точки, где $y''=0$: $6x = 0 \implies x = 0$.

Определим знаки второй производной:

• При $x < 0$, $y'' < 0$, график функции является выпуклым (выпуклым вверх).
• При $x > 0$, $y'' > 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз).

7. Построение графика.

График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. Функция всегда возрастает. Для $x < 0$ график выпуклый, для $x > 0$ — вогнутый. Ключевые точки: $(-1; -7)$, $(0; 0)$, $(1; 7)$.

Ответ: Функция $y = x^3 + 6x$ нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Область определения - все действительные числа. Пересекает оси только в точке $(0; 0)$. Функция строго возрастает на всей числовой оси. Точек экстремума нет. График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; 0)$.

3) $y = \frac{1}{1 - x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = \frac{1}{1-0} = 1$. Точка $(0; 1)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies \frac{1}{1 - x^2} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{1}{1 - (-x)^2} = \frac{1}{1 - x^2} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$.

$\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$, $\lim_{x \to 1^-} y = +\infty$.

$\lim_{x \to -1^+} y = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} y = -\infty$.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - x^2} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (\frac{1}{1 - x^2})' = \frac{-(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2x}{(1 - x^2)^2}$.

Критическая точка: $y' = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(1-x^2)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $2x$.

• При $x < 0$ (и $x \neq -1$), $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$.
• При $x > 0$ (и $x \neq 1$), $y' > 0$, функция возрастает на $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (\frac{2x}{(1 - x^2)^2})' = \frac{2(1-x^2)^2 - 2x \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{2(1-x^2)+8x^2}{(1-x^2)^3} = \frac{2+6x^2}{(1-x^2)^3}$.

Числитель $2+6x^2 > 0$. Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(1-x^2)^3$.

• При $x \in (-1; 1)$, $1-x^2 > 0$, значит $y'' > 0$. График вогнутый.
• При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $1-x^2 < 0$, значит $y'' < 0$. График выпуклый.

7. Построение графика.

График состоит из трех ветвей. Центральная ветвь находится между асимптотами $x=-1$ и $x=1$, имеет форму параболы с минимумом в точке $(0; 1)$ и стремится к $+\infty$ при приближении к асимптотам. Две боковые ветви находятся ниже оси Ox, симметричны относительно оси Oy, стремятся к горизонтальной асимптоте $y=0$ при $x \to \pm \infty$ и к $-\infty$ при приближении к вертикальным асимптотам.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{1 - x^2}$ четная, график симметричен относительно оси Oy. Область определения $x \neq \pm 1$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, горизонтальная асимптота $y=0$. Убывает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$, возрастает на $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка локального минимума $(0; 1)$. График вогнутый на $(-1; 1)$ и выпуклый на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

4) $y = -\frac{2}{1 + x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель $1+x^2$ всегда положителен ($1+x^2 \ge 1$).

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x = 0 \implies y = -\frac{2}{1+0} = -2$. Точка $(0; -2)$.

С осью Ox: $y = 0 \implies -\frac{2}{1 + x^2} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox. Так как $1+x^2>0$, то $y < 0$ для всех $x$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = -\frac{2}{1 + (-x)^2} = -\frac{2}{1 + x^2} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2}{1 + x^2} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График приближается к ней снизу.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (-2(1+x^2)^{-1})' = (-2)(-1)(1+x^2)^{-2}(2x) = \frac{4x}{(1+x^2)^2}$.

Критическая точка: $y' = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$.

Знак производной зависит от знака $x$:

• При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; 0]$.
• При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $[0; +\infty)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (\frac{4x}{(1+x^2)^2})' = \frac{4(1+x^2)^2 - 4x \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{4(1+x^2) - 16x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{4-12x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{4(1-3x^2)}{(1+x^2)^3}$.

Знаменатель всегда положителен. Знак $y''$ определяется знаком числителя $1-3x^2$.

$1-3x^2 = 0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm 1/\sqrt{3}$.

• При $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $1-3x^2>0 \implies y''>0$. График вогнутый.
• При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}; +\infty)$, $1-3x^2<0 \implies y''<0$. График выпуклый.

7. Построение графика.

График имеет форму "перевернутого колокола", расположенного под осью Ox. Он симметричен относительно оси Oy. Минимальное значение достигается в точке $(0; -2)$. График приближается к оси Ox (асимптота $y=0$) при $x \to \pm \infty$. В точках $(\pm 1/\sqrt{3}; -1.5)$ происходит смена выпуклости на вогнутость и наоборот.

Ответ: Функция $y = -\frac{2}{1+x^2}$ четная, график симметричен относительно оси Oy. Область определения - все действительные числа. Горизонтальная асимптота $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка глобального минимума $(0; -2)$. График выпуклый на $(-\infty; -1/\sqrt{3}]) \cup [1/\sqrt{3}; +\infty)$ и вогнутый на $[-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3}]$. Точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{3}; -1.5)$.