Номер 7, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin \frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$

2) $y = \arcsin(x - 3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$

1) Для функции $y = \arcsin\frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$ область определения (ОДЗ) находится как пересечение областей определения двух слагаемых.

Первое слагаемое $y_1 = \arcsin\frac{1}{x}$. Область определения арксинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для аргумента $\frac{1}{x}$ должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$.

Также знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.

Данное двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x} \le 1 \\ \frac{1}{x} \ge -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1-x}{x} \le 0 \\ \frac{1+x}{x} \ge 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство $\frac{1-x}{x} \le 0$ методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

Решая второе неравенство $\frac{1+x}{x} \ge 0$ методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Пересечение этих двух решений дает нам область определения для первого слагаемого: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Второе слагаемое $y_2 = \sqrt{4 - 3x - x^2}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$4 - 3x - x^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x - 4 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-4, 1]$.

Теперь найдем пересечение областей определения обоих слагаемых:

$((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \cap [-4, 1]$.

Пересечением является множество $[-4, -1] \cup \{1\}$.

Ответ: $D(y) = [-4, -1] \cup \{1\}$.

2) Для функции $y = \arcsin(x - 3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$ область определения (ОДЗ) также находится как пересечение областей определения двух слагаемых.

Первое слагаемое $y_1 = \arcsin(x - 3)$. Аргумент арксинуса должен лежать в пределах от -1 до 1:

$-1 \le x - 3 \le 1$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x \le 1 + 3$,

$2 \le x \le 4$.

Таким образом, для первого слагаемого область определения $x \in [2, 4]$.

Второе слагаемое $y_2 = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется "по краям" от корней:

$x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных областей определения:

$[2, 4] \cap ((-\infty, -1] \cup [3, +\infty))$.

Пересекая отрезок $[2, 4]$ с множеством $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, получаем отрезок $[3, 4]$.

Ответ: $D(y) = [3, 4]$.