Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x}$;

3) $y = 4\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x - 5$;

4) $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}$.

1)Исходная функция: $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Тогда функция принимает вид: $y = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\cos x \neq 0$.

Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения мы можем сократить дробь: $y = \cos x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ за исключением точек, в которых $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Эти точки называются выколотыми.

Найдем координаты выколотых точек. Абсциссы: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Ординаты: $y = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$.

Следовательно, выколотые точки имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = \cos x$ с выколотыми точками в точках пересечения с осью абсцисс, то есть точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2)Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x}$.

Используя тождество $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, получаем: $y = \frac{\sqrt{\cos^2 x}}{\cos x}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и функция равна $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Это происходит на интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и функция равна $y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$. Это происходит на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

График функции представляет собой набор горизонтальных линий на уровнях $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков: $y=1$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и $y=-1$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена.

3)Исходная функция: $y = 4\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x - 5$.

Найдем ОДЗ. Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ не может быть кратным $\frac{\pi}{2}$. ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения выполняется тождество $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = 1$.

Подставим это в исходную функцию: $y = 4 \cdot 1 - 5 = -1$.

Графиком функции является прямая $y=-1$, из которой исключены (выколоты) точки, не входящие в ОДЗ.

Координаты выколотых точек: $(\frac{\pi k}{2}, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=-1$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi k}{2}, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4)Исходная функция: $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим в функцию: $y = 3 - \frac{2\sin x \cos x}{2\cos x}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $2\cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, или $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На ОДЗ мы можем сократить $\cos x$: $y = 3 - \sin x$.

Графиком этой функции является синусоида. Он получается из графика $y = \sin x$ путем следующих преобразований:

1. Отражение относительно оси абсцисс (получаем $y = -\sin x$).

2. Сдвиг вверх на 3 единицы (получаем $y = 3 - \sin x$).

График колеблется относительно прямой $y=3$ в диапазоне от $y=2$ до $y=4$.

Из этого графика нужно выколоть точки, не входящие в ОДЗ.

Абсциссы выколотых точек: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Найдем ординаты:

- При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$), $y = 3 - \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 - 1 = 2$. Точки $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2)$.

- При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$), $y = 3 - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 3 - (-1) = 4$. Точки $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 4)$.

Эти точки являются точками минимума и максимума функции $y = 3 - \sin x$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = 3 - \sin x$ с выколотыми точками в ее локальных максимумах и минимумах, то есть точками вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$ и $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 4)$, где $k \in \mathbb{Z}$.