Номер 7, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 5 - 0,5x$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо вычислить определенный интеграл от разности этих функций. Пределами интегрирования будут абсциссы точек пересечения графиков.

1. Нахождение пределов интегрирования

Найдем точки пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 5 - 0,5x$, приравняв их правые части:

$\frac{8}{x} = 5 - 0,5x$

Умножим обе части уравнения на $x$, при условии, что $x \neq 0$ (что верно, так как $x=0$ не входит в область определения функции $y = \frac{8}{x}$):

$8 = 5x - 0,5x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$0,5x^2 - 5x + 8 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 8.

$x_1 = 2, \quad x_2 = 8$

Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 8. Эти значения и будут пределами интегрирования.

2. Определение верхней и нижней функций

Чтобы определить, какой из графиков находится выше на интервале $(2, 8)$, возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 4$, и вычислим значения обеих функций в этой точке:

Для прямой $y = 5 - 0,5x$: $y(4) = 5 - 0,5 \cdot 4 = 5 - 2 = 3$.

Для гиперболы $y = \frac{8}{x}$: $y(4) = \frac{8}{4} = 2$.

Так как $3 > 2$, на интервале $(2, 8)$ график функции $y = 5 - 0,5x$ лежит выше графика функции $y = \frac{8}{x}$.

3. Вычисление площади

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{2}^{8} \left( (5 - 0,5x) - \frac{8}{x} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int \left( 5 - 0,5x - \frac{8}{x} \right) dx = 5x - 0,5 \frac{x^2}{2} - 8 \ln|x| = 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln|x|$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln x \right) \right|_{2}^{8} = \left( 5 \cdot 8 - \frac{8^2}{4} - 8 \ln 8 \right) - \left( 5 \cdot 2 - \frac{2^2}{4} - 8 \ln 2 \right)$

$S = \left( 40 - \frac{64}{4} - 8 \ln 8 \right) - \left( 10 - \frac{4}{4} - 8 \ln 2 \right)$

$S = (40 - 16 - 8 \ln 8) - (10 - 1 - 8 \ln 2)$

$S = (24 - 8 \ln 8) - (9 - 8 \ln 2)$

$S = 24 - 8 \ln 8 - 9 + 8 \ln 2 = 15 - 8(\ln 8 - \ln 2)$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:

$S = 15 - 8 \ln\left(\frac{8}{2}\right) = 15 - 8 \ln 4$

Также можно выразить ответ через натуральный логарифм 2, используя свойство $\ln(a^k) = k \ln a$:

$S = 15 - 8 \ln(2^2) = 15 - 8 \cdot 2 \ln 2 = 15 - 16 \ln 2$

Ответ: $15 - 8 \ln 4$ (или $15 - 16 \ln 2$).