Номер 2, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \ge 136;$

2) $2 \log_{0.7} x \le \log_{0.7}(9 - 8x).$

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \ge 136$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x \cdot 2^{-1} \ge 136$

$11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2} \ge 136$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \cdot (11 - \frac{5}{2}) \ge 136$

Упростим выражение в скобках:

$2^x \cdot (\frac{22 - 5}{2}) \ge 136$

$2^x \cdot \frac{17}{2} \ge 136$

Чтобы выделить $2^x$, умножим обе части неравенства на $\frac{2}{17}$ (знак неравенства не меняется, так как множитель положительный):

$2^x \ge 136 \cdot \frac{2}{17}$

Так как $136 : 17 = 8$, получаем:

$2^x \ge 8 \cdot 2$

$2^x \ge 16$

Представим число 16 в виде степени с основанием 2:

$2^x \ge 2^4$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, для показателей степеней выполняется неравенство с тем же знаком:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

2) $2\log_{0.7} x \le \log_{0.7}(9-8x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 9 - 8x > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$9 > 8x$

$x < \frac{9}{8}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{9}{8})$.

Теперь решим исходное неравенство. Применим свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$ к левой части:

$\log_{0.7} (x^2) \le \log_{0.7}(9-8x)$

Основание логарифма $0.7$ меньше 1 ($0 < 0.7 < 1$), поэтому логарифмическая функция $y=\log_{0.7}t$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов логарифмов знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 \ge 9 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 + 8x - 9 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а их произведение равно -9. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-9$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня:

$x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{9}{8})$:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty) \\ x \in (0; \frac{9}{8}) \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является промежуток $[1; \frac{9}{8})$.

Ответ: $x \in [1; \frac{9}{8})$.