Номер 1, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Элементы теории вероятностей

1. Бросают игральный кубик. Событие A состоит в том, что выпавшее число является нечётным, событие B — выпавшее число не больше трёх. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: 6, 8, 11, 13, 24, 30

Вероятность, %: 11, 8, 18, 21, 19, 23

Найдите:

1) $P (x = 8)$;

2) $P (x = 10)$;

3) $P (x \geq 13)$.

1.

При бросании игрального кубика существует 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Множество всех элементарных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Общее число исходов $n=6$.

Событие A — «выпавшее число является нечётным». Этому событию благоприятствуют исходы: $A = \{1, 3, 5\}$. Число благоприятных исходов $m_A=3$.
Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие B — «выпавшее число не больше трёх», то есть $x \le 3$. Этому событию благоприятствуют исходы: $B = \{1, 2, 3\}$. Число благоприятных исходов $m_B=3$.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

1) $\overline{A}$

Событие $\overline{A}$ (противоположное событию A) состоит в том, что выпавшее число не является нечётным, то есть является чётным. Благоприятные исходы для события $\overline{A}$: $\{2, 4, 6\}$. Число благоприятных исходов $m_{\overline{A}}=3$.
Вероятность события $\overline{A}$ равна: $P(\overline{A}) = \frac{m_{\overline{A}}}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Альтернативно, вероятность противоположного события можно найти по формуле: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}$

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что оба события происходят одновременно. То есть, выпавшее число является нечётным и при этом не больше трёх. Этому условию удовлетворяют исходы, которые входят и в множество A, и в множество B: $A \cap B = \{1, 3\}$. Число благоприятных исходов $m_{A \cap B}=2$.
Вероятность события $A \cap B$ равна: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий A или B. То есть, выпавшее число является нечётным или не больше трёх. Этому условию удовлетворяют исходы, которые входят хотя бы в одно из множеств A или B: $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$. Число благоприятных исходов $m_{A \cup B}=4$.
Вероятность события $A \cup B$ равна: $P(A \cup B) = \frac{m_{A \cup B}}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Альтернативно, по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$

Дана таблица распределения вероятностей случайной величины x.

1) $P(x=8)$

Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 8, находим непосредственно из таблицы. В строке "Вероятность, %" под значением $x=8$ указано число 8.

Ответ: $P(x=8) = 8\% = 0.08$

2) $P(x=10)$

В таблице распределения для случайной величины $x$ отсутствует значение 10. Это означает, что событие $x=10$ является невозможным для данной случайной величины. Вероятность невозможного события равна нулю.

Ответ: $P(x=10) = 0$

3) $P(x \ge 13)$

Событие $x \ge 13$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, равное или большее 13. Из таблицы видно, что такими значениями являются 13, 24 и 30. Поскольку эти события несовместны (величина $x$ не может одновременно принимать разные значения), искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий.
$P(x \ge 13) = P(x=13) + P(x=24) + P(x=30)$.
Подставляем значения из таблицы:
$P(x \ge 13) = 21\% + 19\% + 23\% = 63\%$.

Ответ: $P(x \ge 13) = 63\% = 0.63$