Номер 4, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство $3^n \ge 12n - 9$.

Требуется найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $3^n \ge 12n - 9$. Натуральные числа — это $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Для решения задачи сначала проверим неравенство для нескольких первых натуральных чисел, а затем используем метод математической индукции, чтобы доказать его для всех остальных подходящих значений.

Проверка для малых значений n

При $n=1$: $3^1 \ge 12(1) - 9$, что упрощается до $3 \ge 3$. Неравенство выполняется.

При $n=2$: $3^2 \ge 12(2) - 9$, что упрощается до $9 \ge 15$. Неравенство не выполняется.

При $n=3$: $3^3 \ge 12(3) - 9$, что упрощается до $27 \ge 27$. Неравенство выполняется.

При $n=4$: $3^4 \ge 12(4) - 9$, что упрощается до $81 \ge 39$. Неравенство выполняется.

Проверка показывает, что неравенство выполняется для $n=1$ и, по-видимому, для всех $n \ge 3$. Докажем, что неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Доказательство по методу математической индукции для $n \ge 3$

Пусть $P(n)$ — это утверждение $3^n \ge 12n - 9$.

Шаг 1: База индукции

Проверим утверждение для $n=3$. Как было показано выше, $27 \ge 27$, что верно. База индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$. То есть, предположим, что выполняется неравенство: $3^k \ge 12k - 9$.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$, то есть $3^{k+1} \ge 12(k+1) - 9$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $k+1$: $3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$.

Используя индукционное предположение ($3^k \ge 12k - 9$), получаем: $3 \cdot 3^k \ge 3(12k - 9)$, что равносильно $3^{k+1} \ge 36k - 27$.

Теперь нам нужно доказать, что $36k - 27$ больше или равно правой части доказываемого неравенства, то есть $12(k+1) - 9 = 12k + 3$.

Проверим неравенство $36k - 27 \ge 12k + 3$:

$36k - 12k \ge 3 + 27$

$24k \ge 30$

$k \ge \frac{30}{24}$

$k \ge 1.25$.

Так как наш шаг индукции выполняется для $k \ge 3$, условие $k \ge 1.25$ очевидно выполнено.

Следовательно, для $k \ge 3$ верно: $3^{k+1} \ge 36k - 27 \ge 12k + 3$.

Это доказывает, что $3^{k+1} \ge 12(k+1) - 9$. Индукционный переход завершен.

По принципу математической индукции, неравенство $3^n \ge 12n - 9$ выполняется для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Объединяя результаты, мы заключаем, что данное неравенство выполняется для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 3$.

Ответ: $n \in \{1\} \cup \{n \in \mathbb{N} \mid n \ge 3\}$.