Номер 5, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямой $y = x + 3$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 1 = x + 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна 1. Подбором находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = 2$

Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами -1 и 2. Эти значения являются пределами интегрирования.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности функции, график которой расположен выше, и функции, график которой расположен ниже, на отрезке $[a, b]$. В нашем случае $a = -1$, $b = 2$.

Чтобы определить, какая функция больше на интервале $(-1, 2)$, возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$:

Для параболы: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$

Для прямой: $y(0) = 0 + 3 = 3$

Так как $3 > 1$, на интервале $(-1, 2)$ график прямой $y = x + 3$ находится выше графика параболы $y = x^2 + 1$.

Теперь составим интеграл для вычисления площади:

$S = \int_{-1}^{2} ((x + 3) - (x^2 + 1)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{-1}^{2} (x + 3 - x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Теперь вычислим этот определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2}$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( \frac{18 - 8}{3} \right) - \left( \frac{-7}{6} \right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5