Номер 4, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Вычислите интеграл:

1) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin 2x - \frac{1}{3}\cos \frac{x}{3} \right) dx; $

2) $ \int_{0}^{6} \left( x + \frac{5}{\sqrt{0.5x + 1}} \right) dx. $

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Исходный интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin{2x} - \frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2\sin{2x} - \frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}}$. Интеграл разности равен разности интегралов.

Первообразная для первого слагаемого $2\sin{2x}$:

$\int 2\sin{2x} dx = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos{2x}\right) = -\cos{2x}$

Первообразная для второго слагаемого $-\frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}}$:

$\int \left(-\frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}}\right) dx = -\frac{1}{3} \int \cos{\frac{x}{3}} dx = -\frac{1}{3} \cdot \left(3\sin{\frac{x}{3}}\right) = -\sin{\frac{x}{3}}$

Таким образом, общая первообразная $F(x) = -\cos{2x} - \sin{\frac{x}{3}}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin{2x} - \frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}} \right) dx = \left. \left(-\cos{2x} - \sin{\frac{x}{3}}\right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

Вычислим значение первообразной на верхнем пределе ($x = \frac{\pi}{2}$):

$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi/2}{3}\right) = -\cos(\pi) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -(-1) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Вычислим значение первообразной на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = -\cos(2 \cdot 0) - \sin\left(\frac{0}{3}\right) = -\cos(0) - \sin(0) = -1 - 0 = -1$

Найдем разность значений:

$F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$

2) Вычислим следующий определенный интеграл:

$\int_{0}^{6} \left( x + \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}} \right) dx$

Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

$\int_{0}^{6} x dx + \int_{0}^{6} \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}} dx$

Найдем первообразную для каждого слагаемого.

Первообразная для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$.

Для нахождения первообразной второго слагаемого представим его в виде $5(0,5x+1)^{-\frac{1}{2}}$. Воспользуемся формулой $\int k(ax+b)^n dx = k\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$:

$\int 5(0,5x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = 5 \cdot \frac{(0,5x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{0,5 \cdot (-\frac{1}{2}+1)} = 5 \cdot \frac{(0,5x+1)^{\frac{1}{2}}}{0,5 \cdot \frac{1}{2}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{0,5x+1}}{0,25} = 20\sqrt{0,5x+1}$

Общая первообразная для подынтегральной функции: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 20\sqrt{0,5x+1}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{x^2}{2} + 20\sqrt{0,5x+1}\right) \right|_{0}^{6}$

Вычислим значение на верхнем пределе ($x = 6$):

$F(6) = \frac{6^2}{2} + 20\sqrt{0,5 \cdot 6 + 1} = \frac{36}{2} + 20\sqrt{3+1} = 18 + 20\sqrt{4} = 18 + 20 \cdot 2 = 18 + 40 = 58$

Вычислим значение на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = \frac{0^2}{2} + 20\sqrt{0,5 \cdot 0 + 1} = 0 + 20\sqrt{1} = 20$

Найдем разность значений:

$F(6) - F(0) = 58 - 20 = 38$

Ответ: $38$