Номер 5, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите уравнение:

1) $\log_5 x + \log_5 (x - 4) = 1;$

2) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3.$

1) $log_5 x + log_5(x - 4) = 1;$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства следует, что $x > 4$. Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (4; +\infty)$.

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов ($log_a b + log_a c = log_a(bc)$):

$log_5(x(x - 4)) = 1$

По определению логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$x(x - 4) = 5^1$

$x^2 - 4x = 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > 4$):

• Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 4$.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 4$, поэтому это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 5.

2) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3.$

Определим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма $\log_x 3$: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$

Подставим это в исходное уравнение:

$2\log_3 x = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Заметим, что так как $x \neq 1$, то $t \neq \log_3 1$, то есть $t \neq 0$.

Уравнение примет вид:

$2t = \frac{2}{t} + 3$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$2t^2 = 2 + 3t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = 2$:

$\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$

2. Для $t_2 = -1/2$:

$\log_3 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{-1/2} = \frac{1}{3^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$):

• Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ также удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ и $\frac{1}{\sqrt{3}} \neq 1$.

Ответ: $9; \frac{1}{\sqrt{3}}$.