Страница 106 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций

1. Найдите область определения функции $y = \lg(6 - 4x)$.

1.Область определения логарифмической функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для функции вида $y = \log_a(f(x))$, выражение под знаком логарифма, $f(x)$, должно быть строго положительным.

В данном случае дана функция $y = \lg(6 - 4x)$, где $\lg$ — это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Таким образом, для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

$6 - 4x > 0$

Решим это линейное неравенство. Перенесем свободный член (6) в правую часть, изменив его знак:

$-4x > -6$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-6}{-4}$

$x < \frac{3}{2}$

Или в десятичной форме:

$x < 1.5$

Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 1.5, не включая 1.5.

Ответ: $(-\infty; 1.5)$

2. Решите уравнение:

1) $\log_{0,1}(10x-7) = -1$;

2) $\log_8(3x+4) = \log_8(x^2 - 4x - 14).$

1) $ \log_{0,1}(10x - 7) = -1 $

Вначале найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 10x - 7 > 0 $

$ 10x > 7 $

$ x > \frac{7}{10} $

$ x > 0,7 $

Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество: если $ \log_a b = c $, то $ a^c = b $.

Применительно к нашему уравнению:

$ 10x - 7 = (0,1)^{-1} $

Вычислим правую часть:

$ (0,1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10 $

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$ 10x - 7 = 10 $

$ 10x = 10 + 7 $

$ 10x = 17 $

$ x = \frac{17}{10} = 1,7 $

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 1,7 > 0,7 $, корень подходит.

Ответ: $1,7$

2) $ \log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 - 4x - 14) $

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма. Но сначала необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба выражения положительны.

$ \begin{cases} 3x + 4 > 0 \\ x^2 - 4x - 14 > 0 \end{cases} $

Решив эту систему, мы найдем ОДЗ. Однако, поскольку мы приравниваем выражения ($ 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 $), достаточно проверить положительность только одного из них для найденных корней. Выберем более простое: $ 3x + 4 > 0 $.

Приравняем аргументы логарифмов:

$ 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 4x - 3x - 14 - 4 = 0 $

$ x^2 - 7x - 18 = 0 $

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -18, а их сумма равна 7.

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} $

Подбором находим корни: $ x_1 = 9 $ и $ x_2 = -2 $.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли эти корни ОДЗ. Подставим их в неравенство $ 3x + 4 > 0 $.

Для $ x_1 = 9 $:

$ 3(9) + 4 = 27 + 4 = 31 $. Так как $ 31 > 0 $, этот корень подходит.

Для $ x_2 = -2 $:

$ 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2 $. Так как $ -2 \le 0 $, этот корень является посторонним и не входит в решение.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $9$

3. Решите неравенство $\log_{\frac{2}{3}}(6-x) \le \log_{\frac{2}{3}}(x+1)$.

Данное логарифмическое неравенство $ \log_{\frac{2}{3}}(6 - x) \le \log_{\frac{2}{3}}(x + 1) $ имеет одинаковые основания в обеих частях.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 6 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} x < 6 \\ x > -1 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1; 6) $.

2. Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $ a = \frac{2}{3} $. Так как основание $ 0 < a < 1 $, то логарифмическая функция $ y = \log_a(t) $ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ 6 - x \ge x + 1 $

3. Решим полученное линейное неравенство:

$ 6 - 1 \ge x + x $

$ 5 \ge 2x $

$ \frac{5}{2} \ge x $

$ x \le 2.5 $

4. Найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений. Для этого решим систему:

$ \begin{cases} x \in (-1; 6) \\ x \le 2.5 \end{cases} $

Объединяя эти условия, получаем, что $ -1 < x \le 2.5 $.

Ответ: $ (-1; 2.5] $

4. Вычислите значение выражения $\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9}$.

Для вычисления значения выражения $\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9}$ необходимо поочередно упростить числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

Упрощение числителя

В числителе находится разность логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_8 128 - \log_8 2 = \log_8 \frac{128}{2} = \log_8 64$.

Теперь вычислим значение полученного логарифма. Логарифм $\log_8 64$ — это степень, в которую нужно возвести основание 8, чтобы получить 64. Так как $8^2 = 64$, то:

$\log_8 64 = 2$.

Таким образом, значение числителя равно 2.

Упрощение знаменателя

В знаменателе находится выражение $2\log_6 2 + \log_6 9$. Сначала применим свойство логарифма степени: $n \log_a b = \log_a b^n$.

$2\log_6 2 = \log_6 2^2 = \log_6 4$.

Теперь выражение в знаменателе имеет вид $\log_6 4 + \log_6 9$. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36$.

Вычислим значение полученного логарифма. Логарифм $\log_6 36$ — это степень, в которую нужно возвести основание 6, чтобы получить 36. Так как $6^2 = 36$, то:

$\log_6 36 = 2$.

Таким образом, значение знаменателя равно 2.

Вычисление итогового значения

Теперь, когда мы нашли значения числителя и знаменателя, мы можем вычислить значение всего выражения, разделив значение числителя на значение знаменателя.

$\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.

5. Решите уравнение:

1) $\log_5 x + \log_5 (x - 4) = 1;$

2) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3.$

1) $log_5 x + log_5(x - 4) = 1;$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства следует, что $x > 4$. Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (4; +\infty)$.

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов ($log_a b + log_a c = log_a(bc)$):

$log_5(x(x - 4)) = 1$

По определению логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$x(x - 4) = 5^1$

$x^2 - 4x = 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > 4$):

• Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 4$.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 4$, поэтому это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 5.

2) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3.$

Определим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма $\log_x 3$: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$

Подставим это в исходное уравнение:

$2\log_3 x = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Заметим, что так как $x \neq 1$, то $t \neq \log_3 1$, то есть $t \neq 0$.

Уравнение примет вид:

$2t = \frac{2}{t} + 3$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$2t^2 = 2 + 3t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = 2$:

$\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$

2. Для $t_2 = -1/2$:

$\log_3 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{-1/2} = \frac{1}{3^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$):

• Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ также удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ и $\frac{1}{\sqrt{3}} \neq 1$.

Ответ: $9; \frac{1}{\sqrt{3}}$.

6. Найдите множество решений неравенства $ \log^2_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} x - 2 \ge 0 $.

Исходное неравенство: $log^2_{\frac{1}{4}} x + log_{\frac{1}{4}} x - 2 \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Введем замену переменной.

Пусть $t = log_{\frac{1}{4}} x$. Тогда неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно переменной $t$:

$t^2 + t - 2 \ge 0$.

3. Решим квадратное неравенство.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

$t_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

Парабола $y = t^2 + t - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 2 \ge 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями. То есть, решение неравенства есть совокупность:

$\begin{cases} t \le -2 \\ t \ge 1 \end{cases}$

4. Выполним обратную замену.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\begin{cases} log_{\frac{1}{4}} x \le -2 \\ log_{\frac{1}{4}} x \ge 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство из совокупности.

Для первого неравенства $log_{\frac{1}{4}} x \le -2$:

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{4}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{4} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$

$x \ge 4^2$

$x \ge 16$

Для второго неравенства $log_{\frac{1}{4}} x \ge 1$:

Аналогично, меняем знак неравенства:

$x \le \left(\frac{1}{4}\right)^{1}$

$x \le \frac{1}{4}$

5. Объединим решения и учтем ОДЗ.

Мы получили совокупность решений $x \ge 16$ и $x \le \frac{1}{4}$. Теперь необходимо учесть ОДЗ, согласно которому $x > 0$.

Для $x \ge 16$: это условие удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Для $x \le \frac{1}{4}$: с учетом ОДЗ получаем $0 < x \le \frac{1}{4}$.

Объединяя полученные интервалы, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{4}] \cup [16; +\infty)$.

7. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \ln(2x + 3)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = \ln(2x + 3)$ в точке $x_0 = -1$, необходимо последовательно вычислить значения $f(x_0)$, $f'(x)$ и $f'(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = -1$:

Подставляем $x_0 = -1$ в уравнение функции:

$f(-1) = \ln(2 \cdot (-1) + 3) = \ln(-2 + 3) = \ln(1) = 0$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1, 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$, где $u = 2x + 3$.

$f'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{1}{2x + 3} \cdot (2x + 3)'$

Производная от $(2x+3)$ равна $2$.

$f'(x) = \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 3}$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Подставляем $x_0 = -1$ в найденную производную:

$f'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = \frac{2}{-2 + 3} = \frac{2}{1} = 2$

4. Составим уравнение касательной:

Подставим все найденные значения: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 2$ в общее уравнение касательной.

$y = 0 + 2 \cdot (x - (-1))$

$y = 2(x + 1)$

$y = 2x + 2$

Ответ: $y = 2x + 2$

8. Постройте график функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$ необходимо сначала найти её область определения.

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, а выражение под знаком логарифма положительно. Это приводит к системе неравенств: $\begin{cases} \lg \cos x \ge 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$.

Рассмотрим первое неравенство: $\lg \cos x \ge 0$. Так как основание десятичного логарифма (10) больше 1, это неравенство равносильно неравенству $\cos x \ge 10^0$, то есть $\cos x \ge 1$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $\cos x$ не может быть больше 1. Единственная возможность, удовлетворяющая одновременно условиям $\cos x \ge 1$ и $\cos x \le 1$, — это равенство $\cos x = 1$.

Если $\cos x = 1$, то второе условие системы, $\cos x > 0$, выполняется автоматически. Следовательно, область определения функции состоит из всех значений $x$, для которых $\cos x = 1$.

Решением уравнения $\cos x = 1$ является серия корней $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь найдём значения функции $y$ в этих точках. Подставляя $\cos x = 1$ в исходное уравнение, получаем:$y = \sqrt{\lg(1)} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, функция определена только в дискретных точках $x = 2\pi n$, и во всех этих точках её значение равно 0. Графиком функции является множество изолированных точек с координатами $(2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки лежат на оси абсцисс. Например, это точки: ..., $(-4\pi, 0)$, $(-2\pi, 0)$, $(0, 0)$, $(2\pi, 0)$, $(4\pi, 0)$, ...

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$ является множество изолированных точек, лежащих на оси Ox с координатами $(2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.