Страница 105 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Показательная функция.

Показательные уравнения и неравенства

1. Сравните числа $a$ и $b$, если:

1) $12,3^a < 12,3^b$;

2) $(\cos 1)^a > (\cos 1)^b$.

1)

В неравенстве $12,3^a < 12,3^b$ мы сравниваем значения показательной функции $y = 12,3^x$ в точках $a$ и $b$.
Основание степени $c = 12,3$.
Так как основание $c > 1$, показательная функция $y = 12,3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Следовательно, из неравенства $12,3^a < 12,3^b$ следует, что $a < b$.
Ответ: $a < b$.

2)

В неравенстве $(\cos 1)^a > (\cos 1)^b$ мы сравниваем значения показательной функции $y = (\cos 1)^x$ в точках $a$ и $b$.
Основание степени $c = \cos 1$. Угол 1 задан в радианах.
Оценим значение основания. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14$, следовательно $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Таким образом, угол в 1 радиан находится в первой четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$.
Для любого угла из первой четверти (кроме 0) его косинус находится в интервале $(0, 1)$. Значит, $0 < \cos 1 < 1$.
Так как основание $c = \cos 1$ удовлетворяет условию $0 < c < 1$, показательная функция $y = (\cos 1)^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (знак неравенства для аргументов меняется на противоположный).
Следовательно, из неравенства $(\cos 1)^a > (\cos 1)^b$ следует, что $a < b$.
Ответ: $a < b$.

2. Решите уравнение:

1) $2^x + 2^{x-3} = 72;$

2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63.$

1) $2^x + 2^{x-3} = 72$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и преобразуем второе слагаемое:

$2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 72$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 72$

Вычислим значение в скобках:

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 72$

Теперь выразим $2^x$:

$2^x = 72 : \frac{9}{8} = 72 \cdot \frac{8}{9}$

$2^x = 8 \cdot 8 = 64$

Так как $64 = 2^6$, получаем:

$2^x = 2^6$

Отсюда $x = 6$.

Ответ: $x=6$.

2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Подставим это в уравнение:

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x = 63$

Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Поскольку основание степени 3 положительно, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 2y - 63 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -63. Легко подобрать корни:

$y_1 = 9$

$y_2 = -7$

Корень $y_2 = -7$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.

Остается один корень $y_1 = 9$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 9$

Так как $9 = 3^2$, получаем:

$3^x = 3^2$

Отсюда $x=2$.

Ответ: $x=2$.

3. Найдите множество решений неравенства

$\left(\frac{5}{11}\right)^{3x} \ge \left(\frac{5}{11}\right)^{2-x}$

Данное неравенство является показательным. Оно имеет вид $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$, где основание $a = \frac{5}{11}$, а показатели степеней $f(x) = 3x$ и $g(x) = 2 - x$.

Поскольку основание степени $a = \frac{5}{11}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

Запишем и решим неравенство для показателей: $ 3x \le 2 - x $

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а свободные члены оставим в правой: $ 3x + x \le 2 $

Приведем подобные слагаемые: $ 4x \le 2 $

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства сохраняется: $ x \le \frac{2}{4} $

Сократим дробь: $ x \le \frac{1}{2} $

Множество решений неравенства — это все действительные числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$. Это можно представить в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}]$

4. Решите уравнение $(5^{x+4})^{x-3} = 0.2^x \cdot 25^{x-4}$.

Дано показательное уравнение:

$(5^{x+4})^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$

Для решения этого уравнения необходимо привести все степени к одному основанию. В данном случае наиболее удобным основанием является 5. Вспомним, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$.

1. Преобразуем левую часть уравнения.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^{x+4})^{x-3} = 5^{(x+4)(x-3)}$

Раскроем скобки в показателе степени:

$(x+4)(x-3) = x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: $5^{x^2 + x - 12}$.

2. Преобразуем правую часть уравнения.

Подставим $0,2 = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$ в правую часть:

$0,2^x \cdot 25^{x-4} = (5^{-1})^x \cdot (5^2)^{x-4}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$5^{-x} \cdot 5^{2(x-4)} = 5^{-x} \cdot 5^{2x-8}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-x + (2x-8)} = 5^{x-8}$

Таким образом, правая часть уравнения принимает вид: $5^{x-8}$.

3. Решим полученное уравнение.

Приравняем левую и правую части после преобразований:

$5^{x^2 + x - 12} = 5^{x-8}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 + x - 12 = x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + x - x - 12 + 8 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разложим его на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x-2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x+2 = 0 \implies x_2 = -2$

Ответ: -2; 2.

5. Решите неравенство:

1) $0,3^{\frac{x^2-3x-24}{x}} \le 0,09;$

2) $3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0.$

Исходное неравенство: $0,3^{\frac{x^2-3x-24}{x}} \le 0,09$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,3: $0,09 = (0,3)^2$. Неравенство принимает вид: $0,3^{\frac{x^2-3x-24}{x}} \le (0,3)^2$.

Так как основание степени $0,3$ меньше 1 ($0 < 0,3 < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{x^2-3x-24}{x} \ge 2$.

Решим полученное рациональное неравенство. Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2-3x-24}{x} - 2 \ge 0$ $\frac{x^2-3x-24 - 2x}{x} \ge 0$ $\frac{x^2-5x-24}{x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: $x^2-5x-24 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. $x_1 = \frac{5-11}{2} = -3$. $x_2 = \frac{5+11}{2} = 8$.

Найдем нуль знаменателя: $x = 0$. Отметим на числовой прямой точки -3, 0 и 8. Точки -3 и 8 будут закрашенными (входят в решение), так как неравенство нестрогое. Точка 0 будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 0)$, $(0, 8]$, $[8, +\infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{(x+3)(x-8)}{x}$ на каждом интервале.

• При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $0 < x < 8$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
• При $-3 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $[-3, 0)$ и $[8, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup [8, +\infty)$.

Исходное неравенство: $3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$. Неравенство примет вид: $3 \cdot (3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Получим квадратное неравенство относительно $t$: $3t^2 + 8t - 3 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$. $t_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$. $t_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3t^2 + 8t - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при $t$ вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$: $t \le -3$ или $t \ge \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -3$. Остается $t \ge \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену: $3^x \ge \frac{1}{3}$. Представим $\frac{1}{3}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Получаем неравенство: $3^x \ge 3^{-1}$.

Так как основание степени $3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

6. Решите уравнение $2 \cdot 25x - 5 \cdot 4x = 3 \cdot 10x$.

Исходное уравнение:

$2 \cdot 25^x - 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x$

Заметим, что основания степеней $25$, $4$ и $10$ можно выразить через простые множители $2$ и $5$:

$25 = 5^2$, $4 = 2^2$, $10 = 2 \cdot 5$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (5^2)^x - 5 \cdot (2^2)^x = 3 \cdot (2 \cdot 5)^x$

Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, получим:

$2 \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 2^{2x} = 3 \cdot 2^x \cdot 5^x$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разделим все члены уравнения на $4^x = 2^{2x}$. Так как $4^x > 0$ при любом действительном $x$, то это преобразование является равносильным.

$\frac{2 \cdot 5^{2x}}{2^{2x}} - \frac{5 \cdot 2^{2x}}{2^{2x}} = \frac{3 \cdot 2^x \cdot 5^x}{2^{2x}}$

Упростим полученное выражение, используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$:

$2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 = 3 \cdot \frac{5^x}{2^x}$

$2 \cdot \left(\left(\frac{5}{2}\right)^x\right)^2 - 5 = 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = \frac{5}{2}$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, является посторонним.

Теперь выполним обратную замену для $t_1$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2}$

Поскольку $\frac{5}{2}$ можно представить как $\left(\frac{5}{2}\right)^1$, получаем:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^1$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$