Страница 99 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Показательная функция.

Показательные уравнения и неравенства

1. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $10,4^m > 10,4^n$;

2) $(\sin 1)^m < (\sin 1)^n$.

1) Дано неравенство $10,4^m > 10,4^n$.
Рассмотрим показательную функцию $y=a^x$, где основание $a = 10,4$.
Так как основание $a = 10,4 > 1$, то показательная функция $y = 10,4^x$ является возрастающей.
Для возрастающей функции, если значение функции в одной точке больше, чем в другой, то и аргумент в первой точке больше, чем во второй.
Следовательно, из неравенства $10,4^m > 10,4^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Дано неравенство $(\sin 1)^m < (\sin 1)^n$.
Рассмотрим показательную функцию $y=a^x$, где основание $a = \sin 1$.
Аргумент синуса "1" задан в радианах. Оценим его значение. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14$, следовательно, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти.
Для углов из первой четверти синус положителен и принимает значения от 0 до 1. Таким образом, $0 < \sin 1 < 1$.
Так как основание $a = \sin 1$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то показательная функция $y = (\sin 1)^x$ является убывающей.
Для убывающей функции, если значение функции в одной точке меньше, чем в другой, то аргумент в первой точке, наоборот, больше, чем во второй (знак неравенства для аргументов меняется на противоположный).
Следовательно, из неравенства $(\sin 1)^m < (\sin 1)^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 250$;

2) $4^x - 3 \cdot 2^x = 40$.

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем первое слагаемое $5^{x+1}$ в $5^x \cdot 5^1$.

$5^x \cdot 5 - 3 \cdot 5^x = 250$

Теперь можно вынести общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5 - 3) = 250$

Выполним вычитание в скобках:

$5^x \cdot 2 = 250$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5^x = \frac{250}{2}$

$5^x = 125$

Чтобы найти $x$, представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 5. Известно, что $125 = 5^3$.

$5^x = 5^3$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 3$

Ответ: 3

Это показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что основание $4$ является квадратом основания $2$, то есть $4 = 2^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}$, преобразуем $4^x$:

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x = 40$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 40 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:

$t^2 - 3t - 40 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь вернемся к нашему ограничению $t > 0$.

Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 0$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 8$:

$2^x = 8$

Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.

$2^x = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 3$

Ответ: 3

3. Найдите множество решений неравенства

$\left(\frac{3}{7}\right)^{4x} \le \left(\frac{3}{7}\right)^{2x-3}$

Дано показательное неравенство: $ \left(\frac{3}{7}\right)^{4x} \le \left(\frac{3}{7}\right)^{2x-3} $.

Для решения показательных неравенств такого вида необходимо сравнить показатели степеней. Основание степени в данном неравенстве равно $ a = \frac{3}{7} $.

Поскольку основание степени является положительным числом, меньшим единицы ($0 < \frac{3}{7} < 1$), то показательная функция $ y=a^x $ является убывающей. Это означает, что для выполнения неравенства $ a^{f(x)} \le a^{g(x)} $ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $ f(x) \ge g(x) $. Иными словами, при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства меняется на противоположный.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему линейному неравенству:

$ 4x \ge 2x - 3 $

Теперь решим это неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть:

$ 4x - 2x \ge -3 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 2x \ge -3 $

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$ x \ge -\frac{3}{2} $

Следовательно, множество решений неравенства — это все числа, которые больше или равны $ -\frac{3}{2} $. Это можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $ [-\frac{3}{2}; +\infty) $

4. Решите уравнение

$(7x+3)^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 7.

Исходное уравнение:

$(7^{x+3})^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6}$

1. Преобразуем левую часть уравнения.

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(7^{x+3})^{x-4} = 7^{(x+3)(x-4)}$

Раскроем скобки в показателе степени:

$(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$

Таким образом, левая часть уравнения равна $7^{x^2 - x - 12}$.

2. Преобразуем правую часть уравнения.

Представим числа $\frac{1}{7}$ и $49$ в виде степени с основанием 7:

$\frac{1}{7} = 7^{-1}$

$49 = 7^2$

Подставим эти значения в правую часть уравнения:

$\left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6} = (7^{-1})^x \cdot (7^2)^{x+6}$

Снова используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(7^{-1})^x \cdot (7^2)^{x+6} = 7^{-x} \cdot 7^{2(x+6)} = 7^{-x} \cdot 7^{2x+12}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{-x} \cdot 7^{2x+12} = 7^{-x + 2x + 12} = 7^{x+12}$

Таким образом, правая часть уравнения равна $7^{x+12}$.

3. Решим полученное уравнение.

Приравняем преобразованные левую и правую части:

$7^{x^2 - x - 12} = 7^{x+12}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - x - 12 = x + 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 - x - 12 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 6.

5. Решите неравенство:

1) $0,1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \ge 0,001;$

2) $0,5^{2x-3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0.$

1) $0,1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \ge 0,001$

Представим обе части неравенства в виде степени с одинаковым основанием 0,1.
Так как $0,001 = 0,1^3$, неравенство принимает вид:
$0,1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \ge 0,1^3$

Так как основание степени $0,1$ меньше 1 ($0 < 0,1 < 1$), при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-4x-15}{x+1} \le 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2-4x-15}{x+1} - 3 \le 0$
$\frac{x^2-4x-15 - 3(x+1)}{x+1} \le 0$
$\frac{x^2-4x-15 - 3x - 3}{x+1} \le 0$
$\frac{x^2-7x-18}{x+1} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.
Найдем корни числителя: $x^2-7x-18=0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1=9$ и $x_2=-2$.
Найдем корень знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x_3=-1$.

Нанесем найденные точки на числовую ось. Точки $x=-2$ и $x=9$ (корни числителя) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-1$ (корень знаменателя) будет выколотой, так как она не входит в ОДЗ.

Определим знаки выражения $\frac{(x+2)(x-9)}{x+1}$ на каждом интервале.
При $x > 9$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
При $-1 < x < 9$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -2]$ и $(-1; 9]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (-1; 9]$.

2) $0,5^{2x-3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$

Преобразуем первое слагаемое, используя свойства степеней:
$0,5^{2x-3} = 0,5^{2x} \cdot 0,5^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot (\frac{1}{2})^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot 2^3 = 8 \cdot (0,5^x)^2$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:
$8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$8t^2 - 17t + 2 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни:
$t_1 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
$t_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 8} = \frac{32}{16} = 2$.

Так как ветви параболы $y=8t^2 - 17t + 2$ направлены вверх, неравенство $8t^2 - 17t + 2 \le 0$ выполняется при $t$, находящемся между корнями (включая сами корни):
$\frac{1}{8} \le t \le 2$.
Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 0,5^x$:
$\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$.

Представим все части двойного неравенства как степени с основанием 0,5:
$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$.
$2 = (\frac{1}{2})^{-1} = 0,5^{-1}$.
Получаем:
$0,5^3 \le 0,5^x \le 0,5^{-1}$.

Так как основание степени $0,5$ меньше 1 ($0 < 0,5 < 1$), при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$3 \ge x \ge -1$.

Запишем решение в стандартном виде: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.

6. Решите уравнение $7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x$.

Исходное уравнение:

$7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x$

Заметим, что основания степеней $49$, $28$ и $16$ можно выразить через степени чисел $7$ и $4$:

$49 = 7^2$

$16 = 4^2$

$28 = 7 \cdot 4$

Подставим эти выражения в уравнение:

$7 \cdot (7^2)^x + 10 \cdot (7 \cdot 4)^x = 8 \cdot (4^2)^x$

$7 \cdot (7^x)^2 + 10 \cdot 7^x \cdot 4^x = 8 \cdot (4^x)^2$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Поскольку $16^x = (4^x)^2$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $16^x$:

$\frac{7 \cdot (7^x)^2}{(4^x)^2} + \frac{10 \cdot 7^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} = \frac{8 \cdot (4^x)^2}{(4^x)^2}$

Упростим полученное выражение:

$7 \cdot \left(\frac{7^x}{4^x}\right)^2 + 10 \cdot \frac{7^x}{4^x} = 8$

$7 \cdot \left(\left(\frac{7}{4}\right)^x\right)^2 + 10 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{7}{4}\right)^x$. Так как показательная функция всегда принимает положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$7t^2 + 10t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 100 + 224 = 324$

Найдем корни для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 7} = \frac{-10 \pm 18}{14}$

$t_1 = \frac{-10 + 18}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

$t_2 = \frac{-10 - 18}{14} = \frac{-28}{14} = -2$

Согласно условию замены, $t$ должно быть положительным. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию ($t > 0$), поэтому он является посторонним. Используем корень $t_1 = \frac{4}{7}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7}$

Чтобы решить это уравнение, представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{7}{4}$:

$\frac{4}{7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -1$

Проверка:
$7 \cdot 49^{-1} + 10 \cdot 28^{-1} = 8 \cdot 16^{-1}$
$7 \cdot \frac{1}{49} + 10 \cdot \frac{1}{28} = 8 \cdot \frac{1}{16}$
$\frac{1}{7} + \frac{5}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Равенство верное.

Ответ: $x = -1$.