Страница 93 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. В выражении $(2x + 3)^7$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Чему равна сумма всех коэффициентов полученного многочлена?

Сумма всех коэффициентов многочлена, полученного в результате раскрытия скобок, равна значению этого многочлена при значении переменной, равном 1.

Пусть данное выражение является многочленом $P(x)$:
$P(x) = (2x + 3)^7$.

После раскрытия скобок по формуле бинома Ньютона мы получим многочлен вида:
$P(x) = a_7x^7 + a_6x^6 + \dots + a_1x + a_0$,
где $a_0, a_1, \dots, a_7$ — искомые коэффициенты.

Сумма всех коэффициентов равна $S = a_7 + a_6 + \dots + a_1 + a_0$.

Чтобы найти эту сумму, достаточно подставить $x=1$ в исходное выражение:
$S = P(1) = (2 \cdot 1 + 3)^7$.

Выполним вычисления:
$S = (2 + 3)^7 = 5^7$.

$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
$5^7 = 5^4 \cdot 5^3 = 625 \cdot 125 = 78125$.

Таким образом, сумма всех коэффициентов полученного многочлена равна 78125.

Ответ: 78125.

137. Найдите отношение суммы чисел в 29-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 23-й строке.

Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля, где нумерация строк начинается с $n=0$ (верхняя строка), вычисляется по формуле $S_n = 2^n$. В этой системе нумерации 1-я строка соответствует $n=0$, 2-я строка — $n=1$, и, соответственно, $k$-я строка соответствует индексу $n=k-1$.

Таким образом, 29-я строка треугольника Паскаля соответствует индексу $n = 29 - 1 = 28$. Сумма чисел в этой строке, обозначим ее $S_{29}$, равна:
$S_{29} = 2^{28}$

Аналогично, 23-я строка соответствует индексу $n = 23 - 1 = 22$. Сумма чисел в этой строке, $S_{23}$, равна:
$S_{23} = 2^{22}$

Теперь найдем отношение суммы чисел в 29-й строке к сумме чисел в 23-й строке. Для этого воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{S_{29}}{S_{23}} = \frac{2^{28}}{2^{22}} = 2^{28-22} = 2^6$

Вычислим полученное значение:
$2^6 = 64$

Ответ: 64

138. Найдите сумму чисел, стоящих на чётных местах в 32-й строке треугольника Паскаля.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов, которые образуют строки треугольника Паскаля. В стандартной нумерации строк треугольника Паскаля отсчёт начинается с нулевой строки (соответствующей $n=0$). Таким образом, 32-я строка соответствует степени $n=31$ в биноме Ньютона. Элементы этой строки — это биномиальные коэффициенты $C_{31}^k$ для $k$ от 0 до 31: $C_{31}^0, C_{31}^1, C_{31}^2, \dots, C_{31}^{31}$.

Всего в 32-й строке 32 элемента (поскольку $k$ принимает 32 значения от 0 до 31). Места этих элементов нумеруются с 1 по 32. Нам необходимо найти сумму чисел, стоящих на чётных местах: 2-м, 4-м, 6-м и так далее, до 32-го. Элемент на 1-м месте — это $C_{31}^0$, на 2-м месте — $C_{31}^1$, на 3-м месте — $C_{31}^2$, и в общем случае, на $m$-м месте стоит элемент $C_{31}^{m-1}$.

Следовательно, искомая сумма $S$ — это сумма коэффициентов с нечётными нижними индексами: $S = C_{31}^1 + C_{31}^3 + C_{31}^5 + \dots + C_{31}^{31}$.

Для нахождения этой суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$.

1. Рассмотрим разложение для $(1+1)^{31}$. Сумма всех коэффициентов в 32-й строке равна:
$C_{31}^0 + C_{31}^1 + C_{31}^2 + C_{31}^3 + \dots + C_{31}^{31} = (1+1)^{31} = 2^{31}$.

2. Рассмотрим разложение для $(1-1)^{31}$. Знакопеременная сумма коэффициентов равна:
$C_{31}^0 - C_{31}^1 + C_{31}^2 - C_{31}^3 + \dots - C_{31}^{31} = (1-1)^{31} = 0$.

Обозначим искомую сумму (сумму на чётных местах) как $S_{чётн} = C_{31}^1 + C_{31}^3 + \dots + C_{31}^{31}$. Обозначим сумму на нечётных местах как $S_{нечётн} = C_{31}^0 + C_{31}^2 + \dots + C_{31}^{30}$.

Тогда наши два уравнения можно представить в виде системы:
1) $S_{нечётн} + S_{чётн} = 2^{31}$
2) $S_{нечётн} - S_{чётн} = 0$

Из второго уравнения получаем, что $S_{нечётн} = S_{чётн}$.

Подставим это равенство в первое уравнение:
$S_{чётн} + S_{чётн} = 2^{31}$
$2 \cdot S_{чётн} = 2^{31}$

Отсюда находим искомую сумму:
$S_{чётн} = \frac{2^{31}}{2} = 2^{30}$.

Ответ: $2^{30}$.

139. Докажите равенство:

$2^{50} + C_{50}^1 2^{49} + C_{50}^2 2^{48} + \dots + C_{50}^{49} 2^1 + 1 = 4^{25} + C_{25}^1 4^{24} 5^1 + C_{25}^2 4^{23} 5^2 + \dots + C_{25}^{24} 4^1 5^{24} + 5^{25}.$

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$2^{50} + C_{50}^1 2^{49} + C_{50}^2 2^{48} + \dots + C_{50}^{49} 2^1 + 1$

Данное выражение можно представить в виде разложения бинома. Учитывая, что $C_{n}^0 = 1$ и $C_{n}^{n} = 1$, а также $1^k = 1$ для любого $k$, перепишем сумму, добавив множители $C_{50}^0$ и $1^k$:

$C_{50}^0 \cdot 2^{50} \cdot 1^0 + C_{50}^1 \cdot 2^{49} \cdot 1^1 + C_{50}^2 \cdot 2^{48} \cdot 1^2 + \dots + C_{50}^{49} \cdot 2^1 \cdot 1^{49} + C_{50}^{50} \cdot 2^0 \cdot 1^{50}$

Это в точности соответствует разложению $(2+1)^{50}$ по формуле бинома Ньютона. Таким образом, левая часть равна:

$(2+1)^{50} = 3^{50}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

$4^{25} + C_{25}^1 4^{24}5^1 + C_{25}^2 4^{23}5^2 + \dots + C_{25}^{24} 4^1 5^{24} + 5^{25}$

Аналогично, учитывая, что $C_{25}^0 = 1$ и $C_{25}^{25} = 1$, перепишем эту сумму в полной форме биномиального разложения:

$C_{25}^0 \cdot 4^{25} \cdot 5^0 + C_{25}^1 \cdot 4^{24} \cdot 5^1 + C_{25}^2 \cdot 4^{23} \cdot 5^2 + \dots + C_{25}^{24} \cdot 4^1 \cdot 5^{24} + C_{25}^{25} \cdot 4^0 \cdot 5^{25}$

Эта сумма является разложением бинома $(4+5)^{25}$. Таким образом, правая часть равна:

$(4+5)^{25} = 9^{25}$

Остается доказать, что левая часть равна правой, то есть $3^{50} = 9^{25}$.

Преобразуем правую часть, зная, что $9 = 3^2$:

$9^{25} = (3^2)^{25} = 3^{2 \cdot 25} = 3^{50}$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна $3^{50}$ и правая часть равна $3^{50}$, следовательно, равенство верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем сворачивания обеих частей в биномиальные степени $(2+1)^{50}$ и $(4+5)^{25}$ соответственно и последующего сравнения полученных выражений $3^{50}$ и $9^{25}$.

140. Какой по номеру член разложения выражения $\left(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\right)^{34}$ по формуле бинома Ньютона не зависит от x?

Для нахождения члена разложения, не зависящего от $x$, воспользуемся формулой общего $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В данном выражении $(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}})^{34}$ имеем:

$a = \sqrt[4]{x} = x^{1/4}$

$b = \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}} = x^{-3/5}$

$n = 34$

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = \binom{34}{k} (x^{1/4})^{34-k} (x^{-3/5})^k$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = \binom{34}{k} x^{\frac{34-k}{4}} x^{-\frac{3k}{5}} = \binom{34}{k} x^{\frac{34-k}{4} - \frac{3k}{5}}$

Член разложения не зависит от $x$, если показатель степени при $x$ равен нулю. Составим и решим уравнение:

$\frac{34-k}{4} - \frac{3k}{5} = 0$

$\frac{34-k}{4} = \frac{3k}{5}$

Умножим обе части уравнения крест-накрест:

$5(34-k) = 4(3k)$

$170 - 5k = 12k$

$170 = 17k$

$k = \frac{170}{17}$

$k = 10$

Номер члена в разложении определяется как $k+1$. Поскольку мы нашли $k=10$, номер искомого члена равен:

$10 + 1 = 11$

Таким образом, 11-й член разложения не зависит от $x$.

Ответ: 11.

141. В выражении $(\sqrt[4]{3} + \sqrt[5]{2})^{60}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Для разложения выражения $(\sqrt[4]{3} + \sqrt[5]{2})^{60}$ по формуле бинома Ньютона воспользуемся общей формулой:$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$.

В нашем случае $a = \sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$, $b = \sqrt[5]{2} = 2^{1/5}$ и $n=60$. Общий член разложения $T_{k+1}$ (при $k$ от 0 до 60) имеет вид:$T_{k+1} = C_{60}^{k} (\sqrt[4]{3})^{60-k} (\sqrt[5]{2})^k = C_{60}^{k} (3^{1/4})^{60-k} (2^{1/5})^k = C_{60}^{k} 3^{\frac{60-k}{4}} 2^{\frac{k}{5}}$.

Слагаемое является рациональным числом, если все его множители рациональны. Биномиальный коэффициент $C_{60}^{k}$ всегда является целым числом, а значит, и рациональным. Чтобы всё слагаемое было рациональным, необходимо, чтобы степени у чисел 3 и 2 были целыми числами. Для этого должны выполняться два условия одновременно: показатель степени у числа 3, то есть $\frac{60-k}{4}$, должен быть целым числом, и показатель степени у числа 2, то есть $\frac{k}{5}$, должен быть целым числом.

Это означает, что $60-k$ должно быть кратно 4, а $k$ должно быть кратно 5. Также, по определению бинома, $k$ — это целое число в диапазоне от 0 до 60 ($0 \le k \le 60$).

Итак, нам нужно найти все целые числа $k$ из отрезка $[0, 60]$, которые удовлетворяют двум условиям: $k$ кратно 5, и $60-k$ кратно 4. Поскольку 60 кратно 4, условие "$60-k$ кратно 4" эквивалентно условию "$k$ кратно 4". Таким образом, задача сводится к нахождению количества чисел $k$ на отрезке $[0, 60]$, которые одновременно кратны и 4, и 5. Число, кратное 4 и 5, должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).НОК(4, 5) = 20.

Следовательно, искомые значения $k$ должны быть кратны 20. Найдем все такие значения $k$ в диапазоне $0 \le k \le 60$: $k=0$, $k=20$, $k=40$, $k=60$. Мы получили 4 возможных значения для $k$. Каждому из этих значений соответствует одно рациональное слагаемое в разложении. Следовательно, количество рациональных слагаемых равно 4.

Ответ: 4

142. В выражении $ \left(x^5 + \frac{1}{x^2}\right)^n $ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид $ 56x^5 $. Найдите $ n $.

Для нахождения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения $(a+b)^n$. Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

В данном выражении $(x^5 + \frac{1}{x^2})^n$ имеем:

$a = x^5$

$b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

По условию, нас интересует шестой член разложения. В формуле общего члена это соответствует $k+1 = 6$, откуда $k=5$.

Подставим значения $a$, $b$ и $k$ в формулу общего члена:

$T_6 = C_n^5 (x^5)^{n-5} (x^{-2})^5$

Теперь упростим это выражение, используя свойства степеней $(a^m)^p = a^{mp}$ и $a^m \cdot a^p = a^{m+p}$:

$T_6 = C_n^5 \cdot x^{5(n-5)} \cdot x^{-2 \cdot 5} = C_n^5 \cdot x^{5n-25} \cdot x^{-10} = C_n^5 \cdot x^{5n-25-10} = C_n^5 \cdot x^{5n-35}$

Из условия задачи известно, что шестой член разложения равен $56x^5$. Приравняем полученное нами выражение к данному в условии:

$C_n^5 \cdot x^{5n-35} = 56x^5$

Чтобы это равенство было верным, должны быть равны как коэффициенты при $x$, так и показатели степени $x$. Это дает нам систему из двух уравнений:

1) $C_n^5 = 56$

2) $5n - 35 = 5$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$5n = 5 + 35$

$5n = 40$

$n = \frac{40}{5} = 8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $n=8$ первому уравнению $C_n^5 = 56$.

Подставим $n=8$ в выражение для биномиального коэффициента:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Поскольку $56=56$, найденное значение $n=8$ является верным.

Ответ: 8

143. В корзине лежат шары, среди которых 35% белых и 25% красных. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар будет белым или красным?

Пусть событие A заключается в том, что выбранный шар — белый, а событие B — в том, что выбранный шар — красный.

По условию задачи, доля белых шаров составляет 35%, а красных — 25%. Вероятность события равна доле благоприятствующих исходов. Следовательно, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 35\% = 0.35$

$P(B) = 25\% = 0.25$

События A и B являются несовместными, так как один и тот же шар не может быть одновременно и белым, и красным. Вероятность того, что произойдет одно из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей.

Нам нужно найти вероятность того, что шар будет белым или красным, то есть $P(A \text{ или } B)$.

$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$

Подставим известные значения:

$P(A \text{ или } B) = 0.35 + 0.25 = 0.60$

Таким образом, вероятность того, что выбранный наугад шар будет белым или красным, составляет 0,6 или 60%.

Ответ: 0,6

144. Завод выпускает 30% продукции высшего сорта, 42% — первого сорта, 27% — второго сорта, а всё остальное — брак. Найдите вероятность того, что наугад выбранное изделие не будет бракованным.

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что наугад выбранное изделие не будет бракованным. Это означает, что изделие будет либо высшего, либо первого, либо второго сорта. Эти три исхода являются несовместными (изделие не может быть одновременно двух разных сортов).

По условию задачи, доли продукции по сортам составляют:

• Продукция высшего сорта: 30%
• Продукция первого сорта: 42%
• Продукция второго сорта: 27%

Чтобы найти общую долю небракованной продукции, нужно сложить доли продукции каждого сорта:

$30\% + 42\% + 27\% = 99\%$

Таким образом, 99% всей продукции завода является небракованной.

Вероятность события равна доле благоприятных исходов. В данном случае, это доля небракованной продукции. Для перевода процентов в десятичную дробь, которая и будет являться вероятностью, разделим процентное значение на 100:

$P(\text{не бракованное}) = \frac{99}{100} = 0,99$

Ответ: 0,99