Номер 142, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. В выражении $ \left(x^5 + \frac{1}{x^2}\right)^n $ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид $ 56x^5 $. Найдите $ n $.

Для нахождения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения $(a+b)^n$. Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

В данном выражении $(x^5 + \frac{1}{x^2})^n$ имеем:

$a = x^5$

$b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

По условию, нас интересует шестой член разложения. В формуле общего члена это соответствует $k+1 = 6$, откуда $k=5$.

Подставим значения $a$, $b$ и $k$ в формулу общего члена:

$T_6 = C_n^5 (x^5)^{n-5} (x^{-2})^5$

Теперь упростим это выражение, используя свойства степеней $(a^m)^p = a^{mp}$ и $a^m \cdot a^p = a^{m+p}$:

$T_6 = C_n^5 \cdot x^{5(n-5)} \cdot x^{-2 \cdot 5} = C_n^5 \cdot x^{5n-25} \cdot x^{-10} = C_n^5 \cdot x^{5n-25-10} = C_n^5 \cdot x^{5n-35}$

Из условия задачи известно, что шестой член разложения равен $56x^5$. Приравняем полученное нами выражение к данному в условии:

$C_n^5 \cdot x^{5n-35} = 56x^5$

Чтобы это равенство было верным, должны быть равны как коэффициенты при $x$, так и показатели степени $x$. Это дает нам систему из двух уравнений:

1) $C_n^5 = 56$

2) $5n - 35 = 5$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$5n = 5 + 35$

$5n = 40$

$n = \frac{40}{5} = 8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $n=8$ первому уравнению $C_n^5 = 56$.

Подставим $n=8$ в выражение для биномиального коэффициента:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Поскольку $56=56$, найденное значение $n=8$ является верным.

Ответ: 8