Номер 145, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — 0,3, в восьмёрку — 0,4. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) больше 7 очков;

2) не менее 9 очков;

3) меньше 9 очков?

Обозначим события:
$A_{10}$ – стрелок попал в десятку (набрал 10 очков). Вероятность этого события $P(A_{10}) = 0,05$.
$A_9$ – стрелок попал в девятку (набрал 9 очков). Вероятность этого события $P(A_9) = 0,3$.
$A_8$ – стрелок попал в восьмёрку (набрал 8 очков). Вероятность этого события $P(A_8) = 0,4$.
События попадания в десятку, девятку и восьмёрку являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя одновременно набрать разное количество очков.

1) больше 7 очков;
Событие "набрать больше 7 очков" означает, что стрелок наберёт 8, 9 или 10 очков. Это соответствует наступлению одного из событий: $A_8$, $A_9$ или $A_{10}$. Поскольку эти события несовместны, вероятность того, что произойдёт одно из них, равна сумме их вероятностей:
$P(\text{больше 7 очков}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = 0,4 + 0,3 + 0,05 = 0,75$.
Ответ: 0,75.

2) не менее 9 очков;
Событие "набрать не менее 9 очков" означает, что стрелок наберёт 9 или 10 очков. Это соответствует наступлению одного из событий: $A_9$ или $A_{10}$. Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(\text{не менее 9 очков}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0,3 + 0,05 = 0,35$.
Ответ: 0,35.

3) меньше 9 очков?
Событие "набрать меньше 9 очков" является противоположным событию "набрать не менее 9 очков" (то есть набрать 9 или 10 очков), вероятность которого мы нашли в предыдущем пункте. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно:
$P(\text{меньше 9 очков}) = 1 - P(\text{не менее 9 очков}) = 1 - 0,35 = 0,65$.
Проверка другим способом:
Событие "набрать меньше 9 очков" означает, что стрелок наберёт 8 очков или меньше 8 очков.
Вероятность набрать 8 очков равна $P(A_8) = 0,4$.
Вероятность набрать меньше 8 очков (т.е. 7, 6, ..., 0 или промах) — это вероятность события, противоположного тому, что стрелок наберет 8, 9 или 10 очков.
$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - (P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10})) = 1 - (0,4 + 0,3 + 0,05) = 1 - 0,75 = 0,25$.
События "набрать 8 очков" и "набрать меньше 8 очков" несовместны, поэтому вероятность набрать меньше 9 очков равна сумме их вероятностей:
$P(\text{меньше 9 очков}) = P(A_8) + P(\text{меньше 8 очков}) = 0,4 + 0,25 = 0,65$.
Результаты совпадают.
Ответ: 0,65.