Номер 141, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. В выражении $(\sqrt[4]{3} + \sqrt[5]{2})^{60}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Для разложения выражения $(\sqrt[4]{3} + \sqrt[5]{2})^{60}$ по формуле бинома Ньютона воспользуемся общей формулой:$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$.

В нашем случае $a = \sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$, $b = \sqrt[5]{2} = 2^{1/5}$ и $n=60$. Общий член разложения $T_{k+1}$ (при $k$ от 0 до 60) имеет вид:$T_{k+1} = C_{60}^{k} (\sqrt[4]{3})^{60-k} (\sqrt[5]{2})^k = C_{60}^{k} (3^{1/4})^{60-k} (2^{1/5})^k = C_{60}^{k} 3^{\frac{60-k}{4}} 2^{\frac{k}{5}}$.

Слагаемое является рациональным числом, если все его множители рациональны. Биномиальный коэффициент $C_{60}^{k}$ всегда является целым числом, а значит, и рациональным. Чтобы всё слагаемое было рациональным, необходимо, чтобы степени у чисел 3 и 2 были целыми числами. Для этого должны выполняться два условия одновременно: показатель степени у числа 3, то есть $\frac{60-k}{4}$, должен быть целым числом, и показатель степени у числа 2, то есть $\frac{k}{5}$, должен быть целым числом.

Это означает, что $60-k$ должно быть кратно 4, а $k$ должно быть кратно 5. Также, по определению бинома, $k$ — это целое число в диапазоне от 0 до 60 ($0 \le k \le 60$).

Итак, нам нужно найти все целые числа $k$ из отрезка $[0, 60]$, которые удовлетворяют двум условиям: $k$ кратно 5, и $60-k$ кратно 4. Поскольку 60 кратно 4, условие "$60-k$ кратно 4" эквивалентно условию "$k$ кратно 4". Таким образом, задача сводится к нахождению количества чисел $k$ на отрезке $[0, 60]$, которые одновременно кратны и 4, и 5. Число, кратное 4 и 5, должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).НОК(4, 5) = 20.

Следовательно, искомые значения $k$ должны быть кратны 20. Найдем все такие значения $k$ в диапазоне $0 \le k \le 60$: $k=0$, $k=20$, $k=40$, $k=60$. Мы получили 4 возможных значения для $k$. Каждому из этих значений соответствует одно рациональное слагаемое в разложении. Следовательно, количество рациональных слагаемых равно 4.

Ответ: 4