Номер 148, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. В каждой из двух колод лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 2. Найдите вероятность события:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Обозначим результат выбора карточек как упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — номер карточки из второй колоды. Поскольку в каждой колоде по три карточки с номерами 1, 2 и 3, общее число всех возможных равновероятных исходов равно $N = 3 \times 3 = 9$.

Пространство элементарных событий $\Omega$ состоит из следующих пар:

$\Omega = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$.

Рассмотрим события A и B:

Событие A: сумма очков на выбранных карточках нечётная. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из них чётное, а другое нечётное. В нашем наборе чисел {1, 2, 3} чётное число — это 2, а нечётные — 1 и 3.

Исходы, благоприятствующие событию A (одно число чётное, другое нечётное):

$A = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$

Число благоприятствующих исходов для A равно $m_A = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{4}{9}$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 2.

Исходы, благоприятствующие событию B:

$B = \{(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)\}$

Число благоприятствующих исходов для B равно $m_B = 5$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{5}{9}$.

1) $\overline{A}$

Событие $\overline{A}$ (противоположное событию A) состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках является чётной. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Так как $P(A) = \frac{4}{9}$, то:

$P(\overline{A}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Можно также найти это напрямую, перечислив исходы, где сумма чётная (оба числа чётные или оба нечётные):

$\overline{A} = \{(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (2, 2)\}$

Число таких исходов $m_{\overline{A}} = 5$, откуда $P(\overline{A}) = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение A и B) означает, что оба события происходят одновременно: сумма очков нечётная, и по крайней мере одна из карточек — двойка.

Чтобы сумма была нечётной, одна из карточек должна быть чётной (т.е. 2), а другая — нечётной (1 или 3). Это означает, что если наступило событие A, то одна из карточек обязательно равна 2, а значит, автоматически наступает и событие B. Таким образом, событие A является подмножеством события B ($A \subset B$), и их пересечение совпадает с событием A.

Выпишем исходы, принадлежащие обоим множествам:

$A \cap B = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, равно $m_{A \cap B} = 4$.

Вероятность этого события:

$P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{N} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий: либо сумма нечётная, либо есть хотя бы одна двойка.

Вероятность объединения событий находится по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Подставим уже вычисленные значения:

$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Так как мы установили, что событие A является подмножеством события B ($A \subset B$), то их объединение совпадает с более широким событием B. Следовательно, $A \cup B = B$, и $P(A \cup B) = P(B) = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$