Номер 155, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В ящике лежат 4 зелёных и 6 синих шара. Наугад из ящика вынимают два шара и кладут их назад. Эту же операцию повторяют ещё раз. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут синего цвета?

По условию задачи, в ящике лежат 4 зелёных и 6 синих шаров. Общее количество шаров в ящике составляет $4 + 6 = 10$.

Операция состоит в том, что из ящика наугад вынимают два шара и кладут их назад. Эту операцию повторяют дважды. Мы ищем вероятность того, что все вынутые шары (все четыре) будут синего цвета.

Это означает, что в первом извлечении оба шара должны быть синими, и во втором извлечении оба шара также должны быть синими. Поскольку после каждого извлечения шары возвращаются в ящик, состав шаров перед вторым извлечением не меняется. Следовательно, результаты двух извлечений являются независимыми событиями.

Сначала вычислим вероятность того, что в ходе одного извлечения будут вынуты два синих шара.

Общее число способов вынуть 2 шара из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Число благоприятных исходов — это количество способов вынуть 2 синих шара из 6 имеющихся синих шаров. Оно равно числу сочетаний из 6 по 2:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Вероятность $P_1$ вынуть два синих шара за одно извлечение равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P_1 = \frac{C_6^2}{C_{10}^2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

Поскольку нам нужно, чтобы это событие произошло дважды подряд, а извлечения независимы, искомая вероятность $P$ будет равна произведению вероятностей каждого из этих событий:
$P = P_1 \times P_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.