Номер 156, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Из коробки, в которой лежат 3 синих и 7 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся красными.

Для решения этой задачи необходимо вычислить вероятность наступления двух зависимых событий: сначала вынимают один красный шар, а затем, из оставшихся, второй красный шар.

Определим общее количество шаров в коробке:

$3 \text{ синих} + 7 \text{ красных} = 10 \text{ шаров}$

Шаг 1: Вероятность вынуть первый красный шар.

Вероятность того, что первый вынутый шар окажется красным, равна отношению количества красных шаров к общему количеству шаров. Обозначим это событие как A.

$P(A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{7}{10}$

Шаг 2: Вероятность вынуть второй красный шар.

После того как первый красный шар был вынут, в коробке осталось 9 шаров. Количество красных шаров также уменьшилось на один, и их стало 6.

Вероятность того, что второй шар также окажется красным (событие B), при условии, что первый уже был красным (событие A), вычисляется так:

$P(B|A) = \frac{\text{оставшееся количество красных шаров}}{\text{оставшееся общее количество шаров}} = \frac{6}{9}$

Дробь $\frac{6}{9}$ можно сократить на 3:

$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Шаг 3: Вероятность того, что оба шара окажутся красными.

Чтобы найти вероятность того, что оба события произойдут последовательно, нужно перемножить вероятности этих событий:

$P(\text{оба красные}) = P(A) \times P(B|A) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9}$

Выполним умножение:

$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90}$

Теперь сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 6:

$\frac{42 \div 6}{90 \div 6} = \frac{7}{15}$

Таким образом, вероятность того, что оба вынутых шара окажутся красными, составляет $\frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$