Номер 159, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. В одном ящике лежат 7 красных, 6 зелёных и 9 жёлтых шаров, а в другом — 5 красных, 2 зелёных и 5 жёлтых шаров. Наугад из каждого ящика берут по одному шару. Какова вероятность того, что взятые шары будут одного цвета?

Для решения этой задачи необходимо найти вероятность того, что извлеченные шары будут либо оба красные, либо оба зелёные, либо оба жёлтые. Поскольку эти три события являются несовместными, итоговая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

1. Найдём общее количество шаров в каждом ящике.

В первом ящике находится $N_1 = 7 + 6 + 9 = 22$ шара.

Во втором ящике находится $N_2 = 5 + 2 + 5 = 12$ шаров.

2. Вычислим вероятность того, что оба извлеченных шара будут красными.

Вероятность вытащить красный шар из первого ящика: $P(К_1) = \frac{7}{22}$.

Вероятность вытащить красный шар из второго ящика: $P(К_2) = \frac{5}{12}$.

Так как выбор шаров из каждого ящика — независимые события, вероятность того, что оба шара окажутся красными, равна произведению этих вероятностей:

$P(КК) = P(К_1) \times P(К_2) = \frac{7}{22} \times \frac{5}{12} = \frac{35}{264}$.

3. Вычислим вероятность того, что оба извлеченных шара будут зелёными.

Вероятность вытащить зелёный шар из первого ящика: $P(З_1) = \frac{6}{22}$.

Вероятность вытащить зелёный шар из второго ящика: $P(З_2) = \frac{2}{12}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся зелёными:

$P(ЗЗ) = P(З_1) \times P(З_2) = \frac{6}{22} \times \frac{2}{12} = \frac{12}{264}$.

4. Вычислим вероятность того, что оба извлеченных шара будут жёлтыми.

Вероятность вытащить жёлтый шар из первого ящика: $P(Ж_1) = \frac{9}{22}$.

Вероятность вытащить жёлтый шар из второго ящика: $P(Ж_2) = \frac{5}{12}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся жёлтыми:

$P(ЖЖ) = P(Ж_1) \times P(Ж_2) = \frac{9}{22} \times \frac{5}{12} = \frac{45}{264}$.

5. Найдём итоговую вероятность.

Вероятность того, что взятые шары будут одного цвета, равна сумме вероятностей трёх несовместных событий, которые мы рассчитали:

$P(\text{один цвет}) = P(КК) + P(ЗЗ) + P(ЖЖ) = \frac{35}{264} + \frac{12}{264} + \frac{45}{264} = \frac{35 + 12 + 45}{264} = \frac{92}{264}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{92}{264} = \frac{46}{132} = \frac{23}{66}$.

Ответ: $\frac{23}{66}$.