Номер 166, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Игральный кубик бросают десять раз. Какова вероятность того, что пятёрка выпадет:

1) четыре раза;

2) больше пяти, но меньше восьми раз?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где

• $n$ – общее число испытаний;
• $k$ – число наступлений события;
• $p$ – вероятность наступления события в одном испытании;
• $q$ – вероятность ненаступления события в одном испытании ($q = 1 - p$);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

В нашем случае:

• Число бросков кубика (испытаний) $n = 10$.
• Событие – выпадение пятёрки.
• Вероятность выпадения пятёрки при одном броске $p = \frac{1}{6}$.
• Вероятность того, что пятёрка не выпадет, $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) четыре раза;

Требуется найти вероятность того, что пятёрка выпадет ровно 4 раза. Здесь $k = 4$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_{10}(4) = C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{10-4} = C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^6$

Сначала вычислим число сочетаний $C_{10}^4$:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

Теперь подставляем это значение обратно в формулу вероятности:

$P_{10}(4) = 210 \cdot \frac{1^4}{6^4} \cdot \frac{5^6}{6^6} = 210 \cdot \frac{5^6}{6^{10}}$

Вычислим степени:

$5^6 = 15625$

$6^{10} = 60466176$

Тогда:

$P_{10}(4) = 210 \cdot \frac{15625}{60466176} = \frac{3281250}{60466176}$

Сократим полученную дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$3281250 = 2 \cdot 3 \cdot 5^7 \cdot 7$

$60466176 = 6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10}$

$P_{10}(4) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5^7 \cdot 7}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{5^7 \cdot 7}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{78125 \cdot 7}{512 \cdot 19683} = \frac{546875}{10077696}$

Приблизительное значение вероятности: $P_{10}(4) \approx 0.054$.

Ответ: $P_{10}(4) = \frac{546875}{10077696}$.

2) больше пяти, но меньше восьми раз?

Это означает, что пятёрка должна выпасть 6 или 7 раз ($5 < k < 8$). Так как эти события несовместны, искомая вероятность равна сумме вероятностей того, что пятёрка выпадет 6 раз, и того, что она выпадет 7 раз:

$P = P_{10}(6) + P_{10}(7)$

Вычислим каждое слагаемое по формуле Бернулли.

Для $k = 6$:

$P_{10}(6) = C_{10}^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{10-6} = C_{10}^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^4$

$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = 210$

$P_{10}(6) = 210 \cdot \frac{1^6}{6^6} \cdot \frac{5^4}{6^4} = 210 \cdot \frac{5^4}{6^{10}} = 210 \cdot \frac{625}{60466176} = \frac{131250}{60466176}$

Для $k = 7$:

$P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (\frac{1}{6})^7 \cdot (\frac{5}{6})^{10-7} = C_{10}^7 \cdot (\frac{1}{6})^7 \cdot (\frac{5}{6})^3$

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

$P_{10}(7) = 120 \cdot \frac{1^7}{6^7} \cdot \frac{5^3}{6^3} = 120 \cdot \frac{5^3}{6^{10}} = 120 \cdot \frac{125}{60466176} = \frac{15000}{60466176}$

Теперь сложим вероятности:

$P = P_{10}(6) + P_{10}(7) = \frac{131250}{60466176} + \frac{15000}{60466176} = \frac{146250}{60466176}$

Сократим дробь:

$P = \frac{146250}{60466176} = \frac{73125}{30233088} = \frac{24375}{10077696} = \frac{8125}{3359232}$

Приблизительное значение вероятности: $P \approx 0.0024$.

Ответ: $P = \frac{8125}{3359232}$.