Номер 167, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Игральный кубик бросают десять раз. Какова вероятность того, что число, кратное трём, выпадет:

1) три раза;

2) не более двух раз;

3) больше восьми раз?

Это задача на использование формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Общее число испытаний (бросков кубика) — $n=10$.

Сначала определим вероятность "успеха" в одном испытании. "Успех" — это выпадение числа, кратного трём. На стандартном игральном кубике (с гранями от 1 до 6) есть два таких числа: 3 и 6.

Вероятность успеха (p) в одном броске: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Вероятность "неудачи" (q), то есть выпадения числа, не кратного трём, равна: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что событие произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, выглядит так: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

В нашем случае $n=10$, $p = \frac{1}{3}$, $q = \frac{2}{3}$. Формула принимает вид: $P_{10}(k) = C_{10}^k \cdot (\frac{1}{3})^k \cdot (\frac{2}{3})^{10-k}$

1) три раза
Требуется найти вероятность того, что число, кратное трём, выпадет ровно 3 раза. Здесь $k=3$.
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^{10-3}$
Вычисляем число сочетаний: $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
Теперь подставляем все значения в формулу: $P_{10}(3) = 120 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^7 = 120 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{128}{2187} = \frac{120 \cdot 128}{27 \cdot 2187} = \frac{15360}{59049}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{15360}{59049} = \frac{5120}{19683}$.
Это примерно равно 0,2601.
Ответ: $\frac{5120}{19683}$

2) не более двух раз
"Не более двух раз" означает, что событие произойдет 0, 1 или 2 раза. Мы должны найти сумму вероятностей для $k=0, k=1$ и $k=2$. $P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$.
Вычисляем каждую вероятность:
$P_{10}(0) = C_{10}^0 \cdot (\frac{1}{3})^0 \cdot (\frac{2}{3})^{10} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1024}{59049} = \frac{1024}{59049}$.
$P_{10}(1) = C_{10}^1 \cdot (\frac{1}{3})^1 \cdot (\frac{2}{3})^9 = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{512}{19683} = \frac{5120}{59049}$.
$P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^8 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{256}{6561} = 45 \cdot \frac{256}{59049} = \frac{11520}{59049}$.
Суммируем вероятности:
$P(k \le 2) = \frac{1024}{59049} + \frac{5120}{59049} + \frac{11520}{59049} = \frac{1024 + 5120 + 11520}{59049} = \frac{17664}{59049}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{17664}{59049} = \frac{5888}{19683}$.
Это примерно равно 0,2991.
Ответ: $\frac{5888}{19683}$

3) больше восьми раз
"Больше восьми раз" означает, что событие произойдет 9 или 10 раз. Мы должны найти сумму вероятностей для $k=9$ и $k=10$. $P(k > 8) = P_{10}(9) + P_{10}(10)$.
Вычисляем каждую вероятность:
$P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (\frac{1}{3})^9 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 10 \cdot \frac{1}{19683} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{59049}$.
$P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{59049} \cdot 1 = \frac{1}{59049}$.
Суммируем вероятности:
$P(k > 8) = \frac{20}{59049} + \frac{1}{59049} = \frac{21}{59049}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{21}{59049} = \frac{7}{19683}$.
Это примерно равно 0,000356.
Ответ: $\frac{7}{19683}$