Номер 168, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока три партии из семи или четыре партии из девяти?

Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить вероятности двух событий. Поскольку игроки равноценны, вероятность выигрыша ($p$) в любой отдельной партии равна вероятности проигрыша ($q$), то есть $p = q = 0.5$. Для расчета вероятности используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

выиграть три партии из семи

Рассчитаем вероятность $P_1$ для этого события. В данном случае общее число партий $n=7$, а число необходимых выигрышей $k=3$.
$P_1 = C_7^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{7-3} = C_7^3 \cdot (0.5)^7$
Найдем число сочетаний:
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
Тогда вероятность равна:
$P_1 = 35 \cdot (\frac{1}{2})^7 = 35 \cdot \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$

выиграть четыре партии из девяти

Рассчитаем вероятность $P_2$ для второго события. Здесь общее число партий $n=9$, а число необходимых выигрышей $k=4$.
$P_2 = C_9^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{9-4} = C_9^4 \cdot (0.5)^9$
Найдем число сочетаний:
$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$
Тогда вероятность равна:
$P_2 = 126 \cdot (\frac{1}{2})^9 = 126 \cdot \frac{1}{512} = \frac{126}{512}$

Теперь необходимо сравнить полученные вероятности: $P_1 = \frac{35}{128}$ и $P_2 = \frac{126}{512}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 512:
$P_1 = \frac{35}{128} = \frac{35 \cdot 4}{128 \cdot 4} = \frac{140}{512}$
Поскольку $140 > 126$, то и $\frac{140}{512} > \frac{126}{512}$.
Следовательно, $P_1 > P_2$. Это означает, что выиграть три партии из семи более вероятно.
Ответ: более вероятно выиграть три партии из семи.