Номер 172, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В коробке лежат 2 красных и 5 синих шаров. Случайным образом из коробки один за другим вынимают по одному шару до тех пор, пока не будет вынут красный шар, и записывают, сколько раз пришлось вынимать шар. Составьте таблицу распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины и вычислите её математическое ожидание.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству шаров, которые вынимают из коробки до тех пор, пока не появится красный шар. В коробке находится 7 шаров: 2 красных (К) и 5 синих (С).

Эксперимент прекращается, как только вынут красный шар. Это означает, что последним вынутым шаром всегда будет красный. Минимальное количество вынутых шаров равно 1 (если первый шар оказался красным). Максимальное количество шаров, которые можно вынуть, равно 6 (сначала все 5 синих, а затем один красный). Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Составление таблицы распределения вероятностей

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$. Шары вынимаются один за другим без возвращения.

• Вероятность того, что красный шар будет вынут первым ($X=1$):

  $P(X=1) = \frac{2}{7}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут вторым ($X=2$). Это означает, что первый шар был синим, а второй — красным.

  $P(X=2) = P(С_1, К_2) = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут третьим ($X=3$). Первые два шара синие, третий — красный.

  $P(X=3) = P(С_1, С_2, К_3) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{40}{210} = \frac{4}{21}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут четвертым ($X=4$). Первые три шара синие, четвертый — красный.

  $P(X=4) = P(С_1, С_2, С_3, К_4) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{120}{840} = \frac{1}{7}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут пятым ($X=5$). Первые четыре шара синие, пятый — красный.

  $P(X=5) = P(С_1, С_2, С_3, С_4, К_5) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{240}{2520} = \frac{2}{21}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут шестым ($X=6$). Первые пять шаров синие, шестой — красный.

  $P(X=6) = P(С_1, С_2, С_3, С_4, С_5, К_6) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{240}{5040} = \frac{1}{21}$

Проведем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$\frac{2}{7} + \frac{5}{21} + \frac{4}{21} + \frac{1}{7} + \frac{2}{21} + \frac{1}{21} = \frac{6}{21} + \frac{5}{21} + \frac{4}{21} + \frac{3}{21} + \frac{2}{21} + \frac{1}{21} = \frac{6+5+4+3+2+1}{21} = \frac{21}{21} = 1$

Теперь составим таблицу распределения вероятностей.

Ответ: Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$:

Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 1 \cdot \frac{2}{7} + 2 \cdot \frac{5}{21} + 3 \cdot \frac{4}{21} + 4 \cdot \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{2}{21} + 6 \cdot \frac{1}{21}$

Для удобства вычислений приведем все дроби к общему знаменателю 21:

$M(X) = 1 \cdot \frac{6}{21} + 2 \cdot \frac{5}{21} + 3 \cdot \frac{4}{21} + 4 \cdot \frac{3}{21} + 5 \cdot \frac{2}{21} + 6 \cdot \frac{1}{21}$

$M(X) = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21}$

$M(X) = \frac{6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6}{21} = \frac{56}{21}$

Сократим полученную дробь на 7:

$M(X) = \frac{56 \div 7}{21 \div 7} = \frac{8}{3}$

Ответ: Математическое ожидание случайной величины равно $\frac{8}{3}$.