Номер 2, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 250$;

2) $4^x - 3 \cdot 2^x = 40$.

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем первое слагаемое $5^{x+1}$ в $5^x \cdot 5^1$.

$5^x \cdot 5 - 3 \cdot 5^x = 250$

Теперь можно вынести общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5 - 3) = 250$

Выполним вычитание в скобках:

$5^x \cdot 2 = 250$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5^x = \frac{250}{2}$

$5^x = 125$

Чтобы найти $x$, представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 5. Известно, что $125 = 5^3$.

$5^x = 5^3$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 3$

Ответ: 3

Это показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что основание $4$ является квадратом основания $2$, то есть $4 = 2^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}$, преобразуем $4^x$:

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x = 40$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 40 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:

$t^2 - 3t - 40 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь вернемся к нашему ограничению $t > 0$.

Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 0$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 8$:

$2^x = 8$

Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.

$2^x = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 3$

Ответ: 3