Номер 2, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите уравнение:

1) $\log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2;$

2) $\log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x - 1).$

1)

Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля:

$ 3x + 4 > 0 $

$ 3x > -4 $

$ x > -\frac{4}{3} $

Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество, согласно которому уравнение $ \log_b a = c $ равносильно уравнению $ a = b^c $.

Применительно к нашему случаю:

$ 3x + 4 = (\frac{1}{3})^{-2} $

Вычислим значение в правой части:

$ (\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9 $

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$ 3x + 4 = 9 $

$ 3x = 9 - 4 $

$ 3x = 5 $

$ x = \frac{5}{3} $

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($ x > -\frac{4}{3} $). Так как $ \frac{5}{3} > -\frac{4}{3} $, корень удовлетворяет условию.

Ответ: $ \frac{5}{3} $.

2)

Дано уравнение $ \log_{7}(2x + 9) = \log_{7}(x^2 + 5x - 1) $.

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), которая требует, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительными. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} 2x + 9 = x^2 + 5x - 1 \\ 2x + 9 > 0 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases} $

Если мы решим уравнение $ 2x + 9 = x^2 + 5x - 1 $ и проверим корни на соответствие условию $ 2x + 9 > 0 $, то второе неравенство ($ x^2 + 5x - 1 > 0 $) будет выполнено автоматически. Поэтому систему можно упростить:

$ \begin{cases} 2x + 9 = x^2 + 5x - 1 \\ 2x + 9 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ x^2 + 5x - 2x - 1 - 9 = 0 $

$ x^2 + 3x - 10 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя теорему Виета:

$ x_1 + x_2 = -3 $

$ x_1 \cdot x_2 = -10 $

Корнями являются $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 2 $.

Теперь проверим найденные корни, подставив их в неравенство $ 2x + 9 > 0 $:

Для $ x_1 = -5 $:

$ 2(-5) + 9 = -10 + 9 = -1 $.

Так как $ -1 < 0 $, этот корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Для $ x_2 = 2 $:

$ 2(2) + 9 = 4 + 9 = 13 $.

Так как $ 13 > 0 $, этот корень является решением уравнения.

Ответ: $ 2 $.