Номер 5, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите уравнение:

1) $\log_2 x + \log_2(x-3) = 2;$

2) $1 + 2\log_x 5 = \log_5 x.$

1) $\log_{2}x + \log_{2}(x-3) = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.

Теперь воспользуемся свойством логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$.

$\log_{2}(x(x-3)) = 2$

По определению логарифма, если $\log_{a}b = c$, то $b = a^c$. Применим это к нашему уравнению:

$x(x-3) = 2^2$

$x^2 - 3x = 4$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 3$, поэтому это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $4$.

2) $1 + 2\log_{x}5 = \log_{5}x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}$.

$\log_{x}5 = \frac{1}{\log_{5}x}$

Подставим это в исходное уравнение:

$1 + 2 \cdot \frac{1}{\log_{5}x} = \log_{5}x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{5}x$. Заметим, что из ОДЗ ($x \neq 1$) следует, что $t \neq \log_{5}1$, то есть $t \neq 0$.

Уравнение принимает вид:

$1 + \frac{2}{t} = t$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t + 2 = t^2$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $\log_{5}x = 2$. Отсюда $x = 5^2 = 25$.

2. Если $t = -1$, то $\log_{5}x = -1$. Отсюда $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 > 0$ и $25 \neq 1$).

Корень $x = \frac{1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ ($\frac{1}{5} > 0$ и $\frac{1}{5} \neq 1$).

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $25$; $\frac{1}{5}$.