Номер 4, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 3 \cos 3x + \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right) dx;$

2) $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x \right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 3\cos 3x + \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2} \right) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3\cos 3x + \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}$.

Первообразная для $3\cos 3x$ равна $3 \cdot \frac{1}{3}\sin 3x = \sin 3x$.
Первообразная для $\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}$ равна $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{1/2}\cos \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (-2\cos \frac{x}{2}) = -\cos \frac{x}{2}$.

Таким образом, первообразная $F(x)$ для всей функции равна: $F(x) = \sin 3x - \cos \frac{x}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования: $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$F(0) = \sin(3 \cdot 0) - \cos\left(\frac{0}{2}\right) = \sin(0) - \cos(0) = 0 - 1 = -1$.

Вычислим значение интеграла: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 3\cos 3x + \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2} \right) dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \left(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (-1) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x \right) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x$. Перепишем первое слагаемое в виде $\frac{3}{2}(3x+4)^{-\frac{1}{2}}$.

Первообразная для $\frac{3}{2}(3x+4)^{-\frac{1}{2}}$ равна $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+4)^{\frac{1}{2}}}{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 2(3x+4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3x+4}$.
Первообразная для $-x$ равна $-\frac{x^2}{2}$.

Таким образом, первообразная $F(x)$ для всей функции равна: $F(x) = \sqrt{3x+4} - \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$F(4) = \sqrt{3 \cdot 4 + 4} - \frac{4^2}{2} = \sqrt{12+4} - \frac{16}{2} = \sqrt{16} - 8 = 4 - 8 = -4$.

$F(-1) = \sqrt{3 \cdot (-1) + 4} - \frac{(-1)^2}{2} = \sqrt{-3+4} - \frac{1}{2} = \sqrt{1} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Вычислим значение интеграла: $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x \right) dx = F(4) - F(-1) = -4 - \frac{1}{2} = -4.5$.

Ответ: $-4.5$