Номер 5, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4 - x^2$ и $y = 2 - x$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4 - x^2$ и $y = 2 - x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков, а затем вычислить определенный интеграл от разности функций.

1. Нахождение пределов интегрирования

Пределы интегрирования — это абсциссы ($x$) точек пересечения графиков. Чтобы их найти, приравняем правые части уравнений:

$4 - x^2 = 2 - x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -1.

$x_1 = -1$, $x_2 = 2$

Таким образом, фигура расположена в пределах от $x = -1$ до $x = 2$.

2. Определение верхней и нижней функции

На интервале $[-1, 2]$ необходимо определить, какая из функций принимает большие значения (т.е. чей график лежит выше). Для этого возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$, и подставим её в оба уравнения:

Для первой функции: $y_1 = 4 - x^2 \Rightarrow y_1(0) = 4 - 0^2 = 4$

Для второй функции: $y_2 = 2 - x \Rightarrow y_2(0) = 2 - 0 = 2$

Так как $4 > 2$, на интервале $[-1, 2]$ график функции $y = 4 - x^2$ находится выше графика функции $y = 2 - x$.

3. Вычисление площади

Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле как интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{a}^{b} (f_{верхняя}(x) - f_{нижняя}(x)) dx$

$S = \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) dx$

Сначала упростим подынтегральное выражение:

$(4 - x^2) - (2 - x) = 4 - x^2 - 2 + x = -x^2 + x + 2$

Теперь вычислим интеграл:

$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$\int (-x^2 + x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( \frac{18-8}{3} \right) - \left( \frac{-7}{6} \right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$S = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: $4,5$